1.2. Свободные затухающие колебания

Опыт показывает, что свободные колебания в реальных системах не продолжаются бесконечно долго, их амплитуда с течением времени уменьшается и постепенно колебания затухают. Расхождение между теорией свободных незатухающих колебаний и опытом объясняется тем, что при расчёте свободных колебаний не были учтены силы сопротивления, которые в действительных условиях всегда имеют место.

Так как при наличии сил сопротивления система перестаёт быть консервативной, то уравнение динамики имеет вид:

(15)

где: Q - обобщенная сила сопротивления.

Примем линейный закон силы сопротивления, тогда имеем:

Q = - b· , (16)

где: b - обобщенный коэффициент затухания, представляющий силу сопротивления при скорости , равной единице.

Сила (16) называется силой вязкого трения и отражает, например, сопротивление воздуха или вязкой жидкости при движении тел с малыми скоростями. Обобщенную силу сопротивления Q можно определить как:

Q = - δΦ/δ

где: Ф = 1/2 b· ² - диссипативная функция Релея.

Уравнение (15) принимает вид:

a· + b· + c·q = 0, или

+ 2n· + k²·q = 0 (17)

где: n = b/2a.

Это дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний при линейном законе сопротивления линейной системы с одной степенью свободы.

В наиболее часто встречающемся случае, когда b < 2· , общее решение уравнения (17) имеет вид (18). При других соотношениях коэффициентов a, b, c движение является апериодическим, т.е. не имеет колебательного характера.

q = e ^-n·t ·(C₁ · sin k₁· t + C₂ · cos k₁· t), (18)

где:

k₁ =  , (19)

а постоянные интегрирования C₁ и C₂ определяются из начальных условий q(0) = q₀ и в виде:

C₁ = ( + n·q₀ ) / k₁, C₂ =  q₀ .

Окончательно имеем:

q = e ^-n·t ·{[( + n·q₀) / k₁· sin k₁· t + q₀· cos k₁· t}  (20)

Другая форма решения (наиболее употребительная) имеет вид:

q = A₁ · e^-n·t · sin (k₁· t + β),   (21)

где:

A₁ = (1/k₁)·   ,  (22)

β = arctg q₀·k₁ / ( + n·q₀). (23)

Графическое изображение уравнения (20) или (21) представляет собой "затухающую синусоиду", расположенную между показательной кривой x = a·e^-n·t  и ее зеркальным отражением x = - a·e^-n·t (cм. рис.2).

q T₁

q₀

0

t

Рис. 2

Периодом затухающих колебаний называется промежуток времени Т₁, в течение которого обобщенная координата q дважды проходит через среднее положение в одном и том же направлении, или (что то же самое) время, за которое отклонения q в одну и ту же сторону достигают наибольшего значения.

T₁ = 2π / k₁ = 2π /  = 2π / k · = T /  . (24)

Свободные затухающие колебания не являются гармоническими, так как колебания, происходящие по гармоническому закону, характеризуются неизменной амплитудой. Термин "амплитуда" в применении к затухающим колебаниям приобретает несколько условный смысл; действительно, решение (21) описывает колебательное движение с постоянной частотой k₁, но с переменной амплитудой A₁ · e^-n·t , зависящей от времени и стремящейся к нулю при t → ∞.

Из уравнения (21) следует, что отношение двух отклонений q_i и q_i+1 , соответствующее двум моментам времени t_i и t_i+1 , отличающихся друг от друга на период Т₁, является постоянной величиной:

η = q_i / q_i+1 = e^{n·(2π/ k1)}

или

. (25)

Иными словами, через равные интервалы времени T₁ перемещения убывают по закону геометрической прогрессии.

Отвлеченное число η называется декрементом затухающих колебаний. Натуральный логарифм декремента:

Δ = ln η = n · T₁ = 2π ·n /  (26)

называется логарифмическим декрементом и является мерой затухания колебаний системы.

Из (26) найдем коэффициент n, характеризующий сопротивление:

n = Δ / T₁. (27)

Сравнивая (24) и (27), после преобразований имеем:

Т₁ / Т =  . (28)