5.6. Механические модели пород

При обсуждении механических свойств пород, как было показано во введении к настоящей главе, удобно оперировать комбинацией характеристик упругости, пластичности и вязкости. Однако для количественного анализа важно знать не только законы изменения указанных характеристик, но и способы их комбинирования.

П одобную задачу достаточно наглядно можно представить в виде схемы последовательных и параллельных соединений элементов следующих типов (рис. 5.15): пружины, отображающей свойство упругости; бруска на поверхности как модели пластичности и поршня со сквозными отверстиями в цилиндре с вязкой жидкостью. Отметим основные свойства элементов или простейших моделей пород.

М одель в виде пружины или тело Гука отражает линейную зависимость между напряжением и деформацией - , обратимость деформаций. Модель в виде бруска на поверхности или тело Сен-Венана идентифицирует пластичность с силой сухого трения. Пластическая деформация появится, если приложенная к телу нагрузка превысит силу трения, в результате чего произойдет необратимое смещение одной части тела относительно другой. Модель в виде поршня в цилиндре с вязкой жидкостью или тело Ньютона представляет вязкость через силу жидкого (вязкого) трения и отражает линейную зависимость между напряжением и скоростью деформаций - , где - коэффициент вязкости ( =Пас), . Заметим, что упругие и пластичные свойства тела проявляются сразу после приложения нагрузки. В то же время свойства вязкости развиваются постепенно.

Комбинируя тела Гука, Ньютона, Сен-Венана посредством последовательных и (или) параллельных соединений, можно строить приближенные модели реальных горных пород. Так на рис. 5.16а представлена модель упруго-пластичной породы в виде параллельного соединения жесткой пружины (E₁) с последовательно соединенными пружиной (E₁ > E₂) и телом Сен-Венана. Условно можно считать, что в области пластических деформаций (участок 2) наклон прямой определяется модулем, который назовем модулем пластичности - . Очевидно, что - , а модуль упругости - (участок 1).

Простейшие реологические модели получаются так же в результате последовательного соединения тела Гука с телом Ньютона (модель Максвелла, рис. 5.16 б) или параллельного соединения тех же тел (модель Кельвина, рис. 5.16в). Очевидно, что модель Максвелла обладает свойством аддитивности соответственно относительно деформаций или скорости деформаций, т.е.

, ; (5.48)

а модель Кельвина – относительно напряжений, т.е.

. (5.49)

В выражениях (5.48) и (5.49) индексы «у» и «в» обозначают соответственно упругую и вязкую составляющие деформаций или напряжений. Используя выражения (5.48) и (5.49), легко получить уравнения ползучести.

Для модели Максвелла достаточно проинтегрировать по времени - t выражение для скорости деформаций и учесть, что в начальный момент времени - , т.е. . Откуда уравнение кривой ползучести для модели Максвелла будет иметь вид

. (5.50)

Для модели Кельвина уравнение ползучести получается путем решения дифференциального уравнения - и имеет вид

, (5.51)

где - время запаздывания ползучести.

Д ля наглядности на рис. 5.17 построены кривые ползучести для обоих случаев. Легко видеть, что вид кривых ползучести для моделей Максвелла и Кельвина заметно отличаются от кривых ползучести реальных пород. Однако если дополнить модель Максвелла телом Сен-Венана (получится модель Бингама - Шведова (рис. 15г)), то можно приблизить вид модельных кривых ползучести к кривым ползучести реальных пород. В частности, ползучесть глин удовлетворительно описывается с помощью модели Бингама – Шведова.

Процессы релаксации рассматриваются аналогично. Так кривая релаксации вида (5.47) сразу получается для модели Максвелла путем решения уравнения - . Причем период релаксации определяется согласно выражению - .

1⁾ Например, если рассмотреть сумму - , то легко видеть, что при преобразовании по второму условию (5.9) имеем - , а при преобразовании по четвертому условию - . Таким образом, указанная сумма не является инвариантной относительно рассматриваемых операций. Полученный вывод можно распространить на оставшиеся суммы, в которых индекс встречается нечетное число раз.

1⁾ В стандарте используются другие обозначения для коэффициента Пуассона и коэффициента поперечной деформации.

1⁾ Текучесть (течение) – вариант перевода первого корня в слове «реология» от греческого «rheos».

103