1.2. Свойства функции вероятности, определенной по классической схеме

Вероятность, определенная по формуле (1.1.4) обладает следующими свойствами.

1. Для каждого события поля

. (1)

2. Для достоверного события

. (2)

3. Если событие подразделяется на частные случаи и (т.е. ), то

. (3)

Первые два свойства очевидны. Докажем третье.

Доказательство

Пусть - число элементарных событий, благоприят­ству­ющих событию , - число элементарных событий, благоприятствующих событию , - число всех элементарных событий.

Поскольку события и несовместны, то не существует событий одновременно благоприятствующих и , и . Это значит, что число событий, благоприятствующих или или равно , т.е.

, 

Свойство (3) иногда формулируется как теорема сложения вероятностей.

4. Вероятность события , противоположного , равна

. (4)

Доказательство

Так как

и ,

то

.

Следовательно,

. 

5. Вероятность невозможного события равна 0, т.е.

. (5)

Доказательство

Так, как

и ,

то

.

Следовательно,

. 

6. Если событие влечет за собой событие , т.е.

, то . (6)

Доказательство

Пусть - число элементарных событий, благоприят­ствую­щих событию , а - число элементарных событий, бла­го­приятст­вующих событию . В число входят события, составляющие число , но возможно еще какие-либо. Поэтому . Следовательно, или ³. 

7. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей

. (7)

Доказательство

Так, как , то . 

Заменяя в последнем соотношении и на 0 и 1 соответственно (см. формулы (5) и (2)), получим соотношение (7).

При решении задач, связанных с вычислением класси­ческой вероятности, бывает необходимым исполь­зование поня­тий и формул комбинаторики. Перейдем к рассмотрению основ­ных понятий комбинаторики: перестановка, сочетание и размещение.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит классический способ вычисления вероятности событий?

2. Чему равна вероятность невозможного события?

3. Чему равна вероятность достоверного события?

4. Как выразить вероятность суммы двух несовместных со­бытий, используя вероятности каждого из них в отдельнос­ти?

5. Как связаны вероятности двух взаимно противополож­ных событий?

2. Элементы комбинаторики

2.1. Перестановки

Пусть рассматривается n различных символов. Их запись, например, через запятую называется перестановкой. Каждому символу в перестановке можно сопоставить его порядковый номер в ней, начиная с первого. Две перестановки из одного и того же числа одинаковых символов называются одинаковыми, если каждый из n символов занимает положение в перестановке с одним и тем же номером (одно и то же место). В противном случае, перестановки считаются различными.

Какое число различных перестановок можно получить, изменяя места расположения символов? Для ответа на этот вопрос приведем следующие рассуждения. Имея различных символов можно на первое место поставить по очереди каждый из них в отдельности. В этом случае образуется различных групп перестановок. Каждая такая группа перестановок имеет одну и ту же черту - одинаковый символ, стоящий на первом месте. После фиксации положения одного символа на первом месте на второе место можно поставить любой из оставшихся символов, что составляет возможность. Последова­тельность этих рассуждений можно продолжить до тех пор, пока не будут зафиксированы символов, и последний оставшийся можно будет расположить только единственным способом на месте с номером . Таким образом, общее число возможных перестановок n различных символов составляет

. (1)

Пример. Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг?

Решение. Существует различных спосо­бов расстановки 10 книг на полке.