- •1. Предел п-ти. Ариф-ие св-ва пределов.
- •3. Отображения мн-в (ф-ии). Предел ф-ии в точке. Арифметические св-ва пределов.
- •4. Непрерывность функции в точке. Свойства функций непрерывных на отрезке.
- •7.Теорема Лагранжа и ее применения к исследованию функции.
- •8.Точки mах и min функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
1. Предел п-ти. Ариф-ие св-ва пределов.
О1. числ.посл-ю наз-ся всякое отобр-ие f:N→R. При этом для краткости пишут: f(n)= an, и наз-ют n-ым членом п-ти, а сама п-ть изобр-ся (аn)
О 2. Число а наз. пределом числовой п-ти (an), если можно указать такой номер : n≥n0 Іan-aІ<ε. При этом пишут
И говор-т, что аn сх-ся к а
Символ-ая запись опр.:
П) предел п-ти равен 1.
Т1. Если послед-ть имеет предел, то он ед-ый.
Док-во: Пусть lim an=a и lim bn=b. Док-ть что a=b. Пусть ε>0 произвольно. по опр. 2. Сущ-ет n1:n≥n1=>|an-a|<ε/2, найдется n2:n≥n2=>|an-b|<ε/2. Обоз-м n0=max(n1;n2), тогда n≥n0. Будем выполнять оба неравенства. Оценим при таких номерах |a-b|=|(a-an)+(an-b)|≤|an-a|+|an-b|<ε/2+ε/2=ε. Получим, что любая ε>0:0≤|a-b|<ε (ввиду произв.малости числа ε>0, это возм-о т.и.тт когда|a-b|=0 => a=b
Т2.Если Limxn=x, limyn=y, то lim(xn±yn)=x±y
Д-во. Пусть ε>0 произв.По О2.найд-ся n1: n≥n1=>|xn-x|<ε/2. Сущ. n2: n≥n2=>|yn-y|<ε/2. Обоз-ь n0=max(n1,n2)/
Пусть n≥n0=>|(xn±yn)-( x±y)|=|(xn-x) ± (yn-y)|≤|xn-x|+|yn-y|< ε/2+ ε/2= ε.чтд
О3. П-ть (аn) Беск.мал.п-тью(бмп), если для люб.ε>0 сущ. n0: n≥n0=>|an|<ε.
Из сопоставления О2 и О3 видим, что БМП сх-ся к 0 (Limаn=0).
Из Т2=> БМП±БМП=БМП,
Сопост-ие О2 и О3 показ-т, что Limаn=a(αn)=(an-a)-БМП. Получ-м след. Представление сх-ся п-ти liman=aan=a+αn, где (αn)-БМП.
О4.П-ть (аn) наз-ся огр-ой, если сущ-ет M>0, то |an|≤M Для люб.n
Т3. Кажд. сходящ-ся п-ть (в част-ти БМП) ограничена.
Т4. Произв-ие БМП на огр-ую п-ть есть БМП.
Сл. Произв-ие 2-х БМП и произв-ие БМП на число есть БМП.
Т5. Предел произв-ия 2-х сходящ-ся п-тей равен произв-ию их пределов. Симв.запись: Liman=a, Limbn=b=>Liman·bn=ab
Д-во: Из условия Т получ-м: an=a+αn, bn=b+βn, где (αn)и(βn)-две БМП. an·bn=ab+aβn+bαn+ αnβn=ab+γnТ.к. aβn-БМП, bαn-БМП. αnβn-БМП, то γn= aβn+bαn+ αnβn-БМП.чтд.
Лемма: Если Limbn=b≠0, то (1/ bn)-огр-ая п-ть.
Т.6. Предел частного 2-х сходящ-ся п-тей равен частному 2-х пределов при условии, что предел знаменателя не равен 0. Симв.зап: Liman=a, Limbn=b=>Lim(an/bn)=a/b
Д-во: an=a+αn, bn=b+βn, где (αn)и(βn)-две БМП. an/bn-a/b=(1/bn∙1/b)∙(anb-abn)=1/bn∙1/b(ab+αnb-ab-abn)= ↕Т.к. (ab+αnb-ab-abn)-БМП, 1/b – число, 1/bn-огр-но по лемме↕=(γn)-БМП.
an/bn=a/b+γn где (γn)-БМП. чтд.
2. Сущ-е верxней грани огр. сверху мн-ва. Т. о пределе монотонной послед-ти.
Из всей теории вещ.числа примем в кач-ве аксиомы Принцип Разделяющей Точки: Пусть А и В – не пустые числовые мн-ва, причем для всех и всех выполняется неравенство а≤b. Тогда существует хотя бы одна точка, разделяющая мн-ва А и В, ктр. облад-ет след. св-вом: (1)
О.1. Пусть А – числ.мн-во. Число М наз-ся мажорантой(минорантой) мн-ва А, если для любого а из А вып-но а≤М (а≥М). Мн-во А, имеющее хотя бы одну мажоранту (миноранту) наз-ся огр-м сверху (огр-м снизу).
О.2 Если сущ-ет наим.из мажорант (наиб.из минорант) мн-ва А, то она на-зся супремум SupA(инфимум InfA).
П) для мн-ва А=(0.1) верхней границей будет любое действительное число М, М≥1, т.е. верхних границ много. Это так не т/о в этом примере. У ограниченного мн-ва имеется бесконечное мн-во верхних границ. А мн-во N не огр-но сверху.
Т.1. Непустое, огр-е сверху числ.мн-во А имеет супремум.
Док-во:Пусть В – мн-во всех мажорант мн-ва А. B={b:b-мажорА}
Мн-во В не пусто, т.к.по усл.А – огр.сверху.По опр-ию мажоранты
Вып-но а≤b .
По принципу разд. Точки Найдется такое с:а≤с≤b Для люб.аЄА и bЄВ
Покажем, что с=supA. Поскольку а≤с для люб.аЄА=> с – мажор. С др.стороны с≤b для люб.bЄВ.=>c-наим.мажор. Это и значит, что с=supA.чтд.
Т.о. в Т.1 утверждается сущест-ие верней грани у любого огр. сверху непустого мн-ва.
П) Sup(0,2)=2
Теор-ы о гранях применяются в док-ве важной Т. Вейерштрасса о сущ-ии предела у монотонной огранич-ой послед-ти чисел. Изложим эту часть материала т\о для случая возрастающей послед-ти.
О.3. Послед-ть (an) наз. Возрастающей, если .
О.4. Послед-ть (an) наз. Ограниченной сверху, если сущ-ет число М:
Т.2.Вейерштрасса Каждая возрастающая ограниченная сверху послед-ть (xn) имеет предел.
(xn) , (xn) ↑ ,сущ-ет М:xn≤M для люб.n
Док-ть: (xn) – сх-ся
Док-во:
В силу ограниченности сверху послед-ти (xn) огр-но сверху мн-во ее членов (xn).Тогда по Т. о гранях сущ-ет супремум пол-ся мн-ва: x=Sup(xn).
Пусть ε>0-произвольно. Sup-это наим.из мажорант, поэтому число x- ε уже не будет мажорантой для (xn). Поэтому сущ-ет xn0> x- ε, т.к. посл-ть по усл.возр-ет, то при n≥n0=>xn> x- ε.
Итак имеем, как только n≥n0 => x- ε < xn ≤x. Но тогда непременно б-т вып-ся n≥n0 => x- ε < xn < x-+ε или по св-ву модуля . Т.о. x=limxn. Чтд.
Док-во Т. О сущ-ии предела в случае убывающей послед-ти (невозрастающих, неубывающих) послед-тей, ограниченных снизу (соответственно, снизу и сверху) аналогич.
П) an=(1+1/n)n не убывающая ее предел по опр. при n→∞ равен 1.