- •Раздел 1. Введение. 2
- •Раздел 2. Тематика лабораторных работ 5
- •2) Контрольная работа №2 6
- •3) Контрольная работа №3 6
- •Раздел 3. Темы для вычислительного практикума 55
- •Методические указания
- •Раздел 1. Введение.
- •Темы данного лекционного курса
- •Темы спецкурсов.
- •Раздел 2. Тематика лабораторных работ
- •Домашние контрольные работы
- •Контрольная работа №1
- •Контрольная работа №2
- •Контрольная работа №3
- •Задание к домашней контрольной работе №1
- •Элементы теории погрешностей.
- •Краткая теория к лабораторным и контрольным работам Приближенное решение нелинейного уравнения
- •Метод половинного деления.
- •Метод хорд.
- •Метод Ньютона (метод касательных).
- •Метод итерации.
- •Метод хорд и касательных.
- •Лабораторная работа № 1
- •Образец выполнения лабораторной работы № 1
- •Лабораторная работа № 2
- •Образец выполнения лабораторной работы № 2
- •Лабораторная работа № 3
- •Лабораторная работа № 4
- •Лабораторная работа № 5
- •Образцы выполнения заданий лабораторных работ №3-5
- •Лабораторная работа № 6
- •Образец выполнения лабораторной работы № 6
- •Лабораторная работа № 7
- •Образец выполнения лабораторной работы № 7
- •Лабораторная работа № 8
- •Образец выполнения лабораторной работы №8
- •Лабораторная работа № 9
- •Образец выполнения лабораторной работы №9
- •Лабораторная работа № 10
- •Образец выполнения лабораторной работы №10
- •Лабораторная работа № 11
- •Образец выполнения лабораторной работы №11
- •Лабораторная работа № 12
- •Образец выполнения лабораторной работы №12
- •Лабораторная работа № 13
- •Образец выполнения лабораторной работы №13
- •Лабораторная работа № 14
- •Образец выполнения лабораторной работы №14
- •Лабораторная работа № 15
- •Образец выполнения лабораторной работы №15
- •Лабораторная работа № 16
- •Образец выполнения лабораторной работы №16
- •Раздел 3. Темы для вычислительного практикума
- •Список литературы
Раздел 2. Тематика лабораторных работ
Форма отчёта:
Постановка задач. Краткая теория (метод решения). Геометрическая интерпретация.
Алгоритм решения поставленной задачи. (Блок-схема).
Текст программы.
Тестовый пример.
Численный расчёт по данным исходной задачи с оценкой погрешности результата. Протокол работы программы.
Анализ полученного результата.
Пояснения к отдельным пунктам отчета.
Постановка задачи включает краткую математическую формулировку задачи с пояснением отдельных моментов, а также необходимые графики и/или рисунки. Должны быть приведены основные моменты применяемых методов.
Алгоритм решения задачи может быть оформлен или в виде блок-схемы, или в словесной форме. Допускается описание алгоритма осмысленными частями (блоками).
Текст программы численного решения задачи должен быть написан на предлагаемом языке программирования, который может быть изменен по согласованию с преподавателем данного курса.
Под тестовым примером или тестом понимается задача (аналогичная по постановке искомой задаче) у которой известно точное решение, что позволяет сравнить численные результаты (приближенное и точное решения) и оценить допускаемую погрешность. По результатам тестирования должен быть сделан вывод.
Протокол работы программы должен включать результаты как по тестовому примеру, так и численного расчета искомой задачи. Результаты численных расчетов должны быть оформлены по всем правилам записи приближенных чисел т.е. запись приближенного решения только с верными значащими цифрами и допускаемой погрешностью.
Анализ численных результатов должен дать ответ на вопрос, соответствуют ли полученные результаты искомому решению поставленной задачи.
Домашние контрольные работы
Контрольная работа №1
Тема: Элементы теории погрешностей.
Контрольная работа №2
Тема: Приближенное решение нелинейных уравнений.
Задание. Лабораторные работы № 3-5.
Контрольная работа №3
Тема: Интерполирование. Обратное интерполирование. Численное дифференцирование.
Задание. Лабораторные работы № 8-10.
Задание к домашней контрольной работе №1
Элементы теории погрешностей.
Задание из Таблицы №1:
а) Определить какое равенство точнее.
б) Округлить сомнительные цифра числа, оставив верные знаки: 1) в узком смысле; 2) в широком смысле. Определить предельные абсолютную и относительную погрешности результата.
в) Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: 1) в узком смысле; 2) в широком смысле.
Таблица № 1
№ |
а) |
б) |
в) |
||
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
56 |
|
|
|
|
|
57 |
|
|
|
|
|
58 |
|
|
|
|
|
59 |
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
Образец выполнения задания А1.
A1. a) Какое равенство точнее .
Обозначим , ; , .
Тогда , ,
, .
Так как , то равенство определено точнее.
Ответ: Равенство определено точнее.
б) Округлить сомнительные цифра числа, оставив верные знаки: 1) в узком смысле; 2) в широком смысле. Определить предельные абсолютную и относительную погрешности результата.
Дано приближенное число , где .
Определим число верных знаков в узком смысле используя следующее выражение
.
Так как , и верно неравенство , то получим , . Округлим до трех верных знаков и получим с погрешностью округления . При этом погрешность полученного приближенного числа равен .
Определим число верных знаков приближенного числа .
, , . Округлим до двух верных знаков и получим с погрешностью округления . При этом погрешность полученного приближенного числа равен .
Определим число верных знаков приближенного числа .
, , . Так как , то приближенное число имеет только верные знаки.
Определим предельную относительную погрешность приближенного числа . Для этого используем определение предельной погрешности: , .
Тогда получим .
Ответ: , .
Дано приближенное число , где . Определим число верных знаков в широком смысле используя следующее выражение .
Так как , и верно неравенство , то получим , . Округлим до трех верных знаков и получим с погрешностью округления . При этом погрешность полученного приближенного числа равна .
Определим число верных знаков приближенного числа . , , . Округлим до двух верных знаков и получим с погрешностью округления . При этом погрешность полученного приближенного числа равна .
Определим число верных знаков приближенного числа .
Из условия , получим , . Так как , то приближенное число имеет только верные знаки.
Определим предельную относительную погрешность приближенного числа . Для этого используем определение предельной погрешности: , .
Тогда получим .
Ответ: , .
в) Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: 1) в узком смысле; 2) в широком смысле.
1) Дано приближенное число .
Так как это число имеет только верные цифры в узком смысле, то . Определим предельную абсолютную погрешность числа из выражения . Тогда .
Следовательно, для предельной абсолютной погрешности имеем . Для определения предельной относительной погрешности числа можно использовать выражение .
Так как , то .
Ответ: .
2) Дано приближенное число .
Так как это число имеет только верные цифры в широком смысле, то . Определим предельную абсолютную погрешность числа из выражения . Тогда .
Следовательно, для предельной абсолютной погрешности имеем . Для определения предельной относительной погрешности числа можно использовать выражение .
Тогда, получим .
Ответ: .
Элементы теории погрешностей.
а) Вычислить и определить предельные абсолютную и относительную погрешности результата.
б) Вычислить и определить предельные абсолютную и относительную погрешности результата.
в) Вычислить и определить предельные абсолютную и относительную погрешности результата пользуясь общей формулой погрешности: 1) в узком смысле; 2) в широком смысле.
Задание из Таблицы 2 определяется по следующей схеме:
Если , то номер задания равен номеру варианта ( ), а исходные данные из Кол.1;
Если , то номер задания равен ( ) , а исходные данные из Кол.2;
Если , то номер задания равен ( ) , а исходные данные из Кол.3;
Если , то номер задания равен ( ) , а исходные данные из Кол.4.
Таблица 2
№ |
Формулы |
|
Кол. 1 |
Кол. 2 |
Кол. 3 |
Кол. 4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
Образец выполнения задания А2.
а) Вычислить и определить предельные абсолютную и относительную погрешности результата. Исходное выражение , где , , , .
По правилам вычисления погрешностей арифметических выражений и функций имеем
,
.
Для определения предельной абсолютной погрешности выражения используем формулу . Тогда получим
, .
Определим число верных знаков в вычисленном выражении в широком смысле, используя предельную абсолютную погрешность . Тогда имеем , , . Округлим результат до верного знака , при этом погрешность округления равен . Тогда . Определим число верных знаков в : , . Следовательно в остались только верные знаки. Определим предельную относительную погрешность числа : .
Ответ: .
б) Выполняется аналогично пункту а).
в) Вычислить и определить предельные абсолютную и относительную погрешности результата пользуясь общей формулой погрешности: 1) в узком смысле; 2) в широком смысле.
Исходное выражение , где , , .
Тогда по общей формуле погрешностей имеем
; , , .
.
.
Определим число верных знаков в значении .
, .
Следовательно, необходимо округлить до верных знаков
.
.
Вычислим предельную относительную погрешность результата
.
Ответ: .