Пример задания:

У исполнителя Калькулятор две команды:

1. Прибавь 3,

2. Вычти 2.

Первая из них увеличивает число на экране на 3, вторая – уменьшает его на 2 (отрицательные числа допускаются).

Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 5 команд?

Решение (1 способ, построение полного графа решения):

1. будем строить дерево решений следующим образом: выясним, какое число можно получить из начального значения 1 за 1 шаг:

2. теперь посмотрим, что удается получить за 2 шага; учитывая, что (-2+3)=(+3-2), одно из значений повторяется: мы можем получить -1 + 3 = 2 и 4 – 2 = 2, то есть получается не дерево, а граф:

так с помощью программ, содержащих ровно 2 команды, можно получить 3 различных числа

3. строим еще уровень: программы из 3-х команд дают 4 разных числа:

обратим внимание, что числа на каждом уровне отличаются друг от друга на 5 =(+3-(-2), то есть они не могут повторяться

4. четвертый уровень дает 5 различных чисел:

5. и пятый – 6 решений:

6. Ответ: 6.

Решение (2 способ, краткий):

1. как следует из приведенных построений, если система команд исполнителя состоит из двух команд сложения/ вычитания, то все возможные программы, содержащие ровно N команд , дают N+1 различных чисел

2. Ответ: 6.

Решение (3 способ, Л.В. Зенцова, лицей № 36 ОАО "РЖД" г.Иркутска):

1. для сложения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения

2. поэтому существует всего 6 возможных программ, состоящих ровно из 5 команд (с точностью до перестановки): 11111 11112 11122 11222 12222 22222

3. Ответ: 6.

Ещё пример задания:

У исполнителя Калькулятор две команды:

1. Прибавь 1

2. Умножь на 2.

Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая – удваивает его.

Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 4 команд?

Решение (1 способ, построение полного графа решения):

1. будем строить дерево решений следующим образом: выясним, какое число можно получить из начального значения 1 за 1 шаг:

2. теперь посмотрим, что удается получить за 2 шага:

в отличие от предыдущей задачи, здесь порядок выполнения операций влияет на результат, поэтому пока все числа получаются разные

3. делаем 3-й шаг, получаем 8 разных чисел:

4. на 4-ом шаге рассматриваем все возможные программы из 4-х команд, получаем числа

6, 10, 9, 16, 8, 14, 13, 24, 7, 12, 11, 20, 10, 18, 17, 32

5. здесь всего 16 чисел, но одно из них (10) повторяется 2 раза, а остальные встречаются по 1 разу, поэтому получаем 15 различных чисел

6. Ответ: 15.

Ещё пример задания (ege.Yandex.Ru):

У исполнителя Калькулятор две команды:

1. Прибавь 6

2. Вычти 3.

Первая из них увеличивает число на экране на 6, вторая – уменьшает на 3. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране.

Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 10 команд?

Решение:

1. особенность этой задачи – у дополнении к условию: «Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране»

2. сначала решим задачу без этого ограничения; поскольку две команды 1 и 2 можно переставлять (последовательное применение команд 1 и 2 дает тот же результат, что и последовательной применение команд 2 и 1), число различных чисел, которые можно получить с помощью программы из N = 10 команд равно N+1 = 11 (см. разборы задач, приведенные выше)

3. проблема в том, что из этих 11 чисел нужно выбросить все отрицательные, так как при появлении отрицательного числа исполнитель выходит из строя

4. минимальное число получается, если применить к начальному числу 10 команд 2:

1 – 10·3 = –29

5. соседние числа в дереве (см. выше) отличаются на 6 – (–3) = 9, поэтому эти 11 чисел

–29 –20 –11 –2 7 16 25 34 43 52 61

6. из них только 7 чисел положительные

7. Ответ: 7.

Решение (2 способ):

1. заметим, что поскольку две команды 1 и 2 можно переставлять (последовательное применение команд 1 и 2 дает тот же результат, что и последовательной применение команд 2 и 1), число различных чисел, которые можно получить с помощью программы из N = 10 команд равно N+1 = 11 (см. разборы задач, приведенные выше)

2. разница между соседними числами равна (+6)-(-3)=9 (команды +6 и -3)

3. начальное число – 1, наибольшее число можно получить, применив 10 команд увеличения на 6; получается число

1 + 10·6 = 61

4. строим ряд чисел – арифметическую прогрессию с разностью (–9):

61 52 43 34 25 16 7 …

все остальные значения отрицательные

5. таким образом, можно получить только 7 положительных чисел

6. это значение можно посчитать сразу, не выписывая все числа; ответим на вопрос «Сколько раз можно отнять 9 от числа 61, чтобы получить первое отрицательное число» – получим 7, так как 61 – 9·7 = –2

7. Ответ: 7.

Тема: Кодирование и декодирование информации.

Что нужно знать:

• кодирование – это перевод информации с одного языка на другой (запись в другой системе символов, в другом алфавите)

• обычно кодированием называют перевод информации с «человеческого» языка на формальный, например, в двоичный код, а декодированием – обратный переход

• один символ исходного сообщения может заменяться одним символом нового кода или несколькими символами, а может быть и наоборот – несколько символов исходного сообщения заменяются одним символом в новом коде (китайские иероглифы обозначают целые слова и понятия)

• кодирование может быть равномерное и неравномерное; при равномерном кодировании все символы кодируются кодами равной длины; при неравномерном кодировании разные символы могут кодироваться кодами разной длины, это затрудняет декодирование

• закодированное сообщение можно однозначно декодировать с начала, если выполняется условие Фано: никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова;

• закодированное сообщение можно однозначно декодировать с конца, если выполняется обратное условие Фано: никакое кодовое слово не является окончанием другого кодового слова;

• условие Фано – это достаточное, но не необходимое условие однозначного декодирования.