5. Поиск экстремумов функций и оптимизация

Для поиска экстремумов используются 2 функции Maximize и Minimize.

Например, для нахождения максимума функции f(x)=sin(x) необходимо выполнить следующее:

Этими же функциями можно решать задачи линейного программирования (оптимизации) вида:

Для решения такой задачи необходимо выполнить следующее:

Обратите внимание, каким образом можно присвоить значения переменным. Необходимо описать вектор переменных, которому присвоить вектор значений. Затем можно использовать переменные отдельно.

6. Сложные графические построения, комбинированные графики, полярные

Для построения графика служит оператор XY-Plot (Shift+2), который устанавливает на рабочее поле шаблон для декартова графика. В этом шаблоне необходимо задать функцию и ее аргументы, а также границы вывода графика по оси ординат и абсцисс. Чтобы совместить несколько графиков в одном блоке, необходимо ввести их функции через символ «,».

Для построения графика в полярных координатах необходимо выбрать Polar Plot (Ctrl+7). Затем внести параметры функции и аргументы. Например:

На графике можно точно определить позицию точки. Для этого необходимо на графике нажать правой кнопкой мыши, затем выбрать в меню Trace и включить trace data, провести курсор мыши по графику. При этом в окне Trace будут отображаться координаты точки под курсором.

7. 3D графики

Для построения трехмерного графика необходимо задать функцию двух переменных. Например: z(x,y)=sin(x)+cos(y). Чтобы построить график данной функции нужно выбрать Surface Plot или нажать клавишу «Ctrl+2», затем указать имя функции z. Например:

Задание к лабораторной работе

I. Общая часть.

1. Вычислить выражения:

а) Решить систему уравнений матричным методом, а также используя функцию lsolve.

x1+x2+2x3+3x4=1

3x1-x2-x3-2x4=-4

2x1+3x2-x3-x4=-6

x1+2x2+3x3-x4=-4;

б) Решить систему нелинейных уравнений в окрестности точки (2,-2):

;

в) Решить уравнение ;

2. Построить график функций sin(x) и cos(x) в одной области построения.

3. Построить 3D график функции и настроить параметры таким образом, как показано ниже.

II. Индивидуальное задание.

1. Решить систему линейных уравнений матричным способом и с помощью lsolve.

2. Запрограммировать функции f(x) и y(x) в соответствии со своим вариантом.

3. Построить график для функций f(x) и y(x) на заданном отрезке в одном блоке XY-Plot. Сделать изменения в настройках графика (цвет и толщина линий, вид линий, сетка, название графика и т.д.).

4. Найти корни и экстремумы функций f(x) и y(x) на заданных отрезках.

5. Решить задачу линейного программирования.

3.Варианты заданий.

Варианты индивидуальных заданий к п.1

Вариант №1 Вариант №2

2x₁+4x₂+3x₃=22 7x₁+ x₂- 4x₃=-7

-x₁+7x₂+11x₃=24 x₁+4x₂- 2x₃=15

4x₁+x₂-5x₃=-16 2x₁- x₂+3x₃=4

Вариант №3 Вариант №4

x₁+3x₂ -2x₃=9 3x₁+ x₂- 4x₃=7

10x₁ - x₂+3x₃=-6 7x₁+4x₂- 2x₃=5

4x₁+2x₂- 6x₃=8 - x₁+9x₂+12x₃=-3

Вариант №5 Вариант №6

4x₁-2x₂+8x₃= 20 x₁- 11x₂ - x₃=23

x₁-9x₂+2x₃=-11 12x₁+ 6x₂ - 8x₃=-5

8x₁+6x₂-5x₃= -1 5x₁- x₂+12x₃=14

Вариант №7 Вариант №8

8x₁+14x₂+ 8x₃=14 5x₁+24x₂+15x₃=46

3x₁ - 3x₂+ 7x₃=41 -3x₁+17x₂- 4x₃=-25

-2x₁+ 5x₂ - x₃=-10 -7x₁- 12x₂+ 9x₃=30

Вариант №9 Вариант №10

12x₁ - 6x₃=31 17x₁+ 2x₂ - x₃=-7

-8x₁+26x₂ + x₃=42 -3x₁-34x₂+22x₃=15

6x₁+ x₂-15x₃=-16 2x₁- 3x₂+13x₃=4

Вариант №11 Вариант №12

4x₁ - x₂+13x₃=38 6x₁ + x₂ -3x₃= -7

19x₁+ x₂ -14x₃=-14 18x₁+4x₂ - x₃= 15

-4x₁+7x₂+25x₃=19 x₁- 2x₂-16x₃ =-14

Вариант №13 Вариант №14

2x₁+4x₂+ 7x₃=22 7x₁- 9x₂+ 12x₃=7

-x₁+ x₂+11x₃=10 -3x₁+ x₂ - 14x₃=15

-x₁+8x₂ - 5x₃=-71 2x₁- x₂+ 23x₃=44

Вариант №15 Вариант №16

3x₁+24x₂ -3x₃=12 28x₁+ x₂ - 4x₃=20

2x₁+ 7x₂-10x₃=21 x₁ - 2x₃= 9

4x₁+ 6x₂-15x₃=11 -3x₁- 2x₂+17x₃=-31

Вариант №17 Вариант №18

32x₁+ 2x₂ + x₃=64 4x₁+ x₂ - x₃=10

-7x₁+27x₂+4x₃=29 x₁+34x₂- 6x₃=75

x₁+5x₂ -25x₃=-42 2x₁ - x₂+13x₃=18

Вариант №19 Вариант №20

23x₁ - x₂ + 2x₃=-20 -9x₁+ 2x₂ - 2x₃=19

5x₁-16x₂ + 3x₃=-40 x₁+14x₂ - 6x₃=53

-2x₁+ 3x₂ -24x₃=-42 x₁ - 3x₂+10x₃=40

Вариант №21 Вариант №22

3x₁ - 5x₂ + 1x₃=20 9x₁- 2x₂ - 2x₃=19

5x₁-6x₂ + 3x₃=-40 -4x₁+x₂ - 6x₃=5

2x₁+ 3x₂ -24x₃=-42 x₁ - 3x₂+8x₃=40

Вариант №23

5x₁ - 7x₂ + 1x₃=-20

15x₁-9x₂ + 3x₃=4

12x₁+ 7x₂ -4x₃=-2

Варианты индивидуальных заданий к п. 2, 3, 4

№ вар	Функция f(x)	Отрезок
1	x^4-1.1x^3-7.86x^2+x+6.3	[-4, 4]
2	(0.375 x^2+x-1.6) sin(x-1.1)	[-4.2; 4.9]
3	(x+2.7)cos(0.5x^2-0.56)	[-1; 4.2]
4	ln(1+x^2)sin(x-2.3)cos^2(x+0.14)	[2; 7]
5	e^0.02x x^2 sin(2.34x-0.76)	[1; 6]
6	1.1x^4-0.9x^3-8.1x^2+x+5.9	[-4.2; 3.9]
7	(0.3 x^2+x+1.6) sin(x-2.1)	[-4.1; 5.2]
8	(x-2.7)cos(0.6x^2+0.6)	[-1; 4.3]
9	ln(0.8+x^2)sin(x-2.1)cos^2(x+1.14)	[1.9; 6.5]
10	e^0.02x (x+0.02)^2 sin(2.54x-0.82)	[0; 6]
11	2x^4-2.1x^3-136x^2+1.9x+12.1	[-4.2, 4.5]
12	(0.75 x^2+2x-3.2) sin(1.2x-1.1)	[-4; 5.3]
13	(1.9x+5.1)cos(0.3x^2+0.31)	[-1.1; 2.3]
14	ln(2.1+(x-0.1)^2)sin(x-2.2)cos^2(x+0.24)	[2; 7]
15	e^0.03x (x-3.1)^2 sin(2.1x-1.34)	[1; 6]
16	(x+8.6)^3 tg(x-1.34)	[-8; 1]
17	5.3x^3+3x^2-9.9x+12.1	[-2, 5]
18	sin(1+x^2)cos(x-2.3)cos^2(x+0.14)	[-1, 9]
19	(3.6 x^2-9x+6) cos(x-2.1)	[-1; 2]
20	(-1.653 x^3+x-1.6) tg(x+0.1)	[-3.2; 0.9]
21	lg((x-0.1)^3)cos(x-0.2)cos^2(3x-0.24)	[9; 17]
22	(0.5 x^5+2x^3-3.2) arccos(-0.2x-0.1)	[-4; 5.3]
23	(19x-1.5)10^(0.3x+0.31)	[-0.1; 0.3]

№ вар.	Функция и отрезок
1	a;b =  0 ; 8 g= 5,754 h = 1,162
2	 a; b =  0 ; 3,2 g= 7,961 h = 2,25
3	a;b =  0 ; 2, 8 g= 3,969 h = 3,654
4	a;b =  1 ; 8 g= 6,353 h = 4,047
5	a;b =  1 ; 8 g= 6,353 h = 4,047
6	a;b =  0,2 ; 3,2 g= 2,932 h = 2,443
7	a;b =  0,4 ; 3,2 g= 3,912 h = 1,784
8	a;b =  0 ; 2,6 g= 2,628 h = 4,842
9	a;b =  0,6 ; 4,8 g= 9,991 h = 3,388
10	a;b =  0,6 ; 4,8 g= 9,991 h = 3,388
11	a;b =  0,6 ; 4,8 g= 4,433 h = 2,166
12	a;b =  0,2 ; 2,6 g= 5,944 h = 4,846
13	a;b =  1,2 ; 3,8 g= 8,433 h = 3,89
14	a;b =  0,4 ; 2,2 g= 8,197 h = 4,916
15	a;b =  0 ; 5 g= 6,097 h = 4,884
16	a;b =  0 ; 1,8 g= 1,233 h = 1,711
17	a;b =  0,4 ; 4,2 g= 9,247 h = 3,167
18	a;b =  0,2 ; 3,2 g= 6,162 h = 2,865
19	a;b =  0 ; 2,4 g= 1,781 h = 1,755
20	a;b =  0,2 ; 2 g= 8,106 h = 2,451
21	a;b =  0 ; 2,4 g= 6,196 h = 2,979
22	a;b =  0,4 ; 2,6 g= 3,083 h = 3,88
23	a;b =  0 ; 1 g= 8,895 h = 2,156