Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника. Параллелограмм. Виды параллелограммов и их свойства. Ромб, прямоугольник, квадрат. Трапеция и ее свойства

В школьных задачах по геометрии мы обычно рассматриваем выпуклые четырехугольники.

В чем разница между ними? Если любые две точки выпуклого многоугольника соединить отрезком — весь отрезок будет лежать внутри многоугольника. Для невыпуклых фигур это не выполняется.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Произвольные четырехугольники в задачах по геометрии встречаются редко. Намного чаще — такие, у которых есть параллельные стороны. Это параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник и трапеция. Здесь в таблице собраны их определения и свойства.

Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон. Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.

2. Противоположные углы параллелограмма равны.

3. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Давайте посмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Пусть ВМ и СК — биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне ВС. Сумма углов АВС и BCD равна 180°. Углы ОВС и ОСВ — половинки углов АВС и ВСD. Значит, сумма углов АВС и ВСD равна 90 градусов. Из треугольника ВОС находим, что угол ВОС — прямой. Ответ: 90.

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.

Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны.

2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Мы уже рассказывали, что это такое.

Углы СВЕ и ВЕА, а также СЕD и ВСЕ — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол СВЕ равен углу ВЕА, а угол СЕD — углу ВСЕ. Получаем, что треугольники АВС и CDE — равнобедренные, то есть АЕ = АВ, а DЕ = CD. Тогда AD = 5 + 5 = 10.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Запишем формулы площади параллелограмма:

S = ah, где а — основание параллелограмма, h — его высота. S = ab sin φ, где а и b — стороны параллелограмма, φ — угол между ними.

И еще одна формула. Так же, как и свойства биссектрис углов параллелограмма, эта формула пригодится тем, кто нацелен на решение задачи С4.

S = d1 d2 sin α, где d1 и d2 — диагонали параллелограмма, α — угол между ними.

EGE-Study » Методические материалы » Геометрия: с нуля до C4 » Ромб и его свойства

Ромб и его свойства

По определению, ромб — это параллелограмм, все стороны которого равны.

Свойства ромба:

1. Диагонали ромба перпендикулярны.

2. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Воспользуемся свойствами ромба для решения задач.

1. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 2, а острый угол равен 60°.

Проведите меньшую диагональ ромба и рассмотрите треугольник ADB. Поскольку AD = DB, а угол DAB равен 60°, треугольник ADB — равносторонний. Следовательно, меньшая диагональ ромба равна 2.

1. Найдите высоту ромба, сторона которого равна v3, а острый угол равен 60?.

Один из подходов к решению задач по геометрии — метод площадей. Он состоит в том, что площадь фигуры выражается двумя разными способами, а затем из полученного уравнения находится неизвестная величина.

Пусть а — сторона ромба. Тогда

S = a² sin 60° = ah,

Отсюда .

2. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

Пусть диагонали ромба равны 6х и 8х. Диагонали ромба перпендикулярны, значит, треугольник АОВ — прямоугольный. По теореме Пифагора АВ² = АО² + ОВ² АВ² = 9ײ + 16ײ, АВ² = 25ײ, Отсюда АВ = 5х. Поскольку периметр равен 200, 5х · 4 = 200 х = 10, АВ = 50, а диагонали ромба равны 60 и 80.

Нам надо найти высоту ромба. Давайте запишем, чему равна площадь ромба. С одной стороны, S = ah. С другой стороны, площадь ромба складывается из площадей двух равных треугольников АВС и ADC, то есть равна 60 · 40 = 2400. Отсюда h = S : a = 2400 : 50 = 48.

Ответ: 48.