Чудові границі

Перша чудова границя та її наслідки.

Друга чудова границя та її наслідки.

35.Точка розриву функції,їх класифікація.

Точка х 0 називається точкою розриву функції y = f (x), якщо вона належить області визначення функції або її кордоні і не є точкою неперервності. У цьому випадку говорять, що при х = х 0 функція розривна. Це може статися, якщо в точці х 0 функція не визначена, або не існує межа функції при х → х 0, або, якщо межа функції існує, але не дорівнює значенню функції в точці х 0: lim f (x) ≠ f (х 0). Крапку х0 називають точкою розриву першого роду,

x → x 0

якщо існують кінцеві односторонні межі f (x0-0) = lim f (x) і f (x0 +0) = lim f (x), але f (x0-0) ≠ f (x0 +0). x → x 0 -0 x → x 0 +0

Крапку х0 називають точкою розриву другого роду, якщо хоча б один з односторонніх меж f (x0-0) і f (x0 +0) не існує (зокрема, нескінченний).

36.Похідна геометричний зміст похідної.

Похідна́ — основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною. Похідна позначається як , що вимовляється «еф-штрих від ікс».

Функція, що має скінченну похідну в точці x, зветься диференційованою в точці x.

Похідна також позначається, як відношення диференціалів. Похідну функції можна, теоретично, обчислювати використовуючи границю відношення приростів. На практиці, достатньо знати похідні обмеженої кількості простих функцій, тоді можна обчислити більш складні випадки за допомогою правил дифернеціювання.

Геометричний зміст похідної

Значення похідної функції у точці дорівнює значенню кутового кофіціента дотичної до кривої у точці з абсциссою .

Рівняння дотичної до кривої у точці M( ) має вигляд:

y=f́(x)=tga

37.Правила диференціювання.

Дії знаходження похідних функцій називаються диференціюванням функцій і виконуються за такими правилами:

- Похідна суми певної скінченої кількості функцій дорівнює сумі похідних доданків.

- Похідна різниці двох функцій дорівнює різниці похідних зменшуваного і від’ємника.

- Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків першої функції на похідну другої функції і другої функції на похідну першої функції.

39. Періодичність функцій. Асимптоти графіка функції.

Періоди́чна фу́нкція ― функція, яка повтороює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргумента фіксованого ненульового числа (періоду).

Асимптоти кривих

Нехай крива задана рівнянням , де є неперервною функцією на відрізку . Тоді задана крива всіма своїми точками знаходитиметься в замкненому прямокутнику , де є найбільше значення функції на відрізку . Якщо функція задана на нескінченному проміжку або у випадку, коли проміжок скінчений, але містить точки розриву другого роду заданої функції, то криву не завжди можна розмістити в прямокутнику. Тоді крива або окремі її вітки йдуть в нескінченність. При цьому може трапитися так, що крива на нескінченності, “розпрямляючись”, наближається до деякої прямої лінії. Пряма лінія називається асимптотою кривої , якщо відстань точки кривої до прямої прямує до нуля, коли точка по кривій рухається в нескінченність. Асимптоти розрізняють трьох типів: “горизонтальні” (паралельні осі ); “вертикальні” (паралельні осі ) і - “похилі”.