- •1.1. Натуральные и целые числа
- •1.1.1. Понятие натуральных чисел
- •1.1.2. Делители и кратные
- •1.1.3. Сравнения по модулю и признаки делимости
- •1.1.4. Целые числа
- •1.2. Рациональные числа
- •1.2.1. Обыкновенные дроби
- •1.2.2. Десятичные дроби
- •Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.
- •1.3. Действительные числа
- •1.3.1. Иррациональные числа
1.1.4. Целые числа
Теперь, когда у нас уже определены положение натуральных чисел на координатной прямой и число 0, мы можем расширить числовое множество так, чтобы операция вычитания была определена на всем множестве.
|
Рисунок 1.1.5.1 |
Множество всех чисел, противоположных натуральным, называется множеством целых отрицательных чисел. Сами натуральные числа при этом называют целыми положительными числами. Множество целых отрицательных чисел, множество целых положительных чисел и число нуль вместе называются множеством целых чисел.
Это множество обозначается Сами натуральные числа иногда записывают со знаком плюс (+), а им противоположные всегда пишут со знаком минус (–). Знак минус перед целым отрицательным числом называется знаком количества в отличие от знака вычитания, который называется знаком действия.
Заданное направление координатной прямой называется положительным, противоположное направление называется отрицательным.
Модулем (абсолютной величиной) числа называется:
само число, если оно положительное,
0, если число равно 0,
противоположное положительное число, если число – отрицательное.
В нашем примере модулем числа –5 является число 5. Операция модуль обозначается двумя вертикальными чертами, например,
Мы помним, что разность двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. Теперь, введя множество отрицательных чисел, мы можем изучить операции на множестве целых чисел.
Сложение.
Для того, чтобы сложить два целых числа с одинаковыми знаками, нужно сложить их модули и перед суммой поставить их общий знак.
Пример 1
Вычислите (+2) + (+5).
Решение
-
(+2) + (+5) = +7.
Ответ. +7.
Пример 2
Вычислите (–4) + (–7).
Решение
-
(–4) + (–7) = –11.
Ответ. –11.
Для того, чтобы сложить два целых числа с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и перед результатом поставить знак большего по модулю числа.
Пример 3
Вычислите (–2) + (+5).
Решение
-
(–2) + (+5) = +3.
Ответ. +3.
Пример 4
Вычислите (+4) + (–7).
Решение
-
(+4) + (–7) = –3.
Ответ. –3.
Вычитание.
Вычитание двух целых чисел сводится к сложению уменьшаемого и числа, противоположному вычитаемому.
Пример 5
Вычислите (–2) – (+5).
Решение
-
(–2) – (+5) = (–2) + (–5) = –7.
Ответ. –7.
Пример 6
Вычислите (+4) – (–7).
Решение
-
(+4) – (–7) = (+4) + (+7) = +11.
Ответ. +11.
Умножение.
Для того, чтобы перемножить два целых числа, нужно перемножить их модули и перед произведением поставить знак плюс (+), если исходные числа были одного знака, и минус (–) – если разного.
Правило знаков при умножении:
|
Пример 7
Вычислите (+2) ∙ (–3).
Решение
-
(+2) ∙ (–3) = –6.
Ответ. –6.
Пример 8
Вычислите (–2) ∙ (–3).
Решение
-
(–2) ∙ (–3) = +6.
Ответ. +6.
Пример 9
Вычислите (–5) ∙ (+3).
Показать решение
При перемножении нескольких сомножителей знак произведения положителен, если число отрицательных сомножителей чётно, и отрицателен, если нечётно.
Пример 10
Вычислите (–2) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–3) ∙ (+4).
Решение
-
(–2) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–3) ∙ (+4) = –360 (три отрицательных сомножителя).
Ответ. –360.
Пример 11
Вычислите (–2) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (+3) ∙ (+4).
Решение
-
(–2) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (+3) ∙ (+4) = 360 (два отрицательных сомножителя).
Ответ. 360.
Деление.
Для того, чтобы разделить одно целое число на другое, нужно разделить модуль первого числа на модуль второго и поставить перед частным знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковые, и минус, – если разные.
Пример 12
Вычислите (–12) : (+6).
Решение
-
(–12) : (+6) = –2.
Ответ. –2.
Пример 13
Вычислите (+4) : (–2).
Решение
-
(+4) : (–2) = –2.
Ответ. –2.
Пример 14
Вычислите (–15) : (–5).
Решение
-
(–15) : (–5) = +3.
Ответ. +3.