Тема 18. Вимушені механічні та електромагнітні коливання Вимушені механічні та електромагнітні коливання (2 год)

Мета: Дати означення вимушених коливань. Ввести поняття змінного струму.

План

1. Виникнення вимушених коливань.

2. Резонанс.

3. Поняття про змінний струм.

Вимушені електричні коливання. Змінний електричний струм. Генератор змінного струму. Резонанс у колах змінного струму.

Вільні електромагнітні коливання в контурі зазвичай швидко загасають через втрати тепла на активному опорі котушки і на випромінювання електромагнітних хвиль, тому частіше використовують вимушені електромагнітні коливання, які виникають під дією зовнішньої періодичної ЕРС. Змінна ЕРС виникає, наприклад, в дротяній рамці із кількох витків під час її обертання в однорідному магнітному полі. Виникнення ЕРС індукції в цьому разі зумовлено дією на рухомі електрони сили з боку магнітного поля. Вона викликає переміщення електронів у провідниках. Оскільки магнітний потік, який пронизує рамку, періодично змінюється відповідно до закону електромагнітної індукції, то періодично змінюється і ЕРС індукції. Під час замикання в колі змінна ЕРС створює змінний струм. Значення такого струму і напруги в колі змінюються з часом за гармонічним законом. Ці періодичні зміни викликають періодичні коливання швидкості впорядкованого руху заряджених частинок.

Існує декілька способів отримання змінного струму, але якщо частота не перевищує 1000 Гц, то зазвичай його отримають методом обертання рамки в магнітному полі.

Нехай плоска рамка площею S рівномірно обертається в магнітному полі з індукцією   і кутовою швидкістю w. У будь-який проміжок часу рамку пронизує магнітний потік (рис.5.2.2):

Ф = | |Scosa,

де a - кут між вектором магнітної індукції   і вектором нормалі  , перпендикулярним до площини рамки; a = wt, (w = a/t). Тоді магнітний потік, який пронизує рамку,

Ф = | |Scoswt.

Змінний магнітний потік у рамці буде утворювати у ній ЕРС індукції, яка визначається законом Фарадея для електромагнітної індукції:

e_i = – Ф' = – (BScosw t)' = BSwsinwt = e _msinwt,                       (5.2.5)

де e_m = BSw - амплітудне значення ЕРС індукції, e_i = e_msinwt - залежність ЕРС індукції в рамці, яка обертається в магнітному полі, від часу.

Якщо наведену ЕРС за допомогою кілець і щіток підвести до навантаження опором R, то на опорі виникає спад напруги, яка також змінюється за гармонічним законом:

U = U_maxsinwt або U = U_maxcoswt.

Під дією прикладеної напруги через навантаження буде проходити змінний струм

I = I_maxsin(wt + j ₀),

де I_max - максимальне значення струму; j₀ - зсув за фазою між коливаннями сили струму і напруги.

У промислових колах значення струму і напруги змінюються гармонічно з частотою 50 Гц. Змінна напруга на кінцях кола створюється генераторами на електростанціях. У промисловості в генераторах великої потужності зазвичай обертають не рамку в магнітному полі, а магніт в рамці. У цьому разі використовувати змінний струм можна без кілець і щіток, що технічно більш вигідно.

Нерухому рамку називають статором, а постійний магніт, що в ній обертається, - ротором.

Часто для зменшення швидкості обертання ротора на ньому розміщують не одну пару полюсів, а n пар полюсів, при цьому частоту обертання ротора можна зменшити в n разів.

На відміну від постійного струму в колах змінного струму є три види опорів:

1. Активний опір R. Коло з активним опором мусить мати значний опір і дуже малу індуктивність та ємність (електричні лампи, плитки, праски). У провіднику з активним опором коливання значення струму за фазою збігаються з коливаннями напруги (рис.5.2.4), а амплітуду струму визначають за формулою:

I_max = U_max/R.

На провідниках з активним опором виділяється теплова потужність. Для того, щоб її розрахувати, потрібно визначити діюче значення струму і напруги.

Діюче значення змінного струму дорівнює такому значенню постійного струму, яке виділяє в провіднику таку саму кількість теплоти, що і змінний струм. Воно дорівнює:

I_д = I_max / .

Діючим значенням змінної напруги, називають таку напругу постійного струму, яка, будучи прикладеною до активного опору, сприяє виділенню на ньому такої самої потужності, як і під час проходження змінного струму:

U_д = U_max / .

Середня потужність відповідно буде дорівнювати:

.

2. Електроємнісний Х_С або опір кола з конденсатором. Таке коло мусить мати значну ємність і дуже малу індуктивність. Заряд конденсатора змінюється за гармонічним законом:

q = q_maxcoswt.

Струм, значення якого дорівнює похідній заряду за часом:

I = q' I_maxcos(w t + p/2).

Коливання струму випереджають коливання напруги на конденсаторі на p/2, крім того, на ньому виділяється джоулеве тепло (рис.5.2.5).

Можна показати, що величина ємнісного опору дорівнює:

.

3. Коло з індуктивним опором мусить мати значну індуктивність і дуже малі значення опорів R_c i R (наприклад, котушка індуктивності). Зі зміною струму за гармонічним законом: I = I_maxsinwt; ЕРС самоіндукції:

e_i = – LI' = – Lw I_maxcoswt.

Оскільки U = – e_i, то напруга на кінцях котушки:

U = LwI_maxcoswt =  LwI_maxsin(wt + p/2) =  U_maxsin(wt + p/2),

де U_max = LwI_max -амплітуда напруги.

Відповідно коливання струму відстають від коливань напруги на p/2 (рис.5.2.6).

Амплітуда струму в котушці дорівнює:

.

Індуктивний опір залежить від частоти. Якщо електричне поле містить ємнісний і індуктивний опори, це означає, що в колі є реактивний опір (рис.5.2.7).

З урахуванням зсуву за фазою між струмом і напругою реактивний опір:

.

Якщо електричне коло містить активний, індуктивний і ємнісний опори, то з урахуванням зсуву за фазою між струмом і напругою повний опір кола буде дорівнювати (рис.5.2.8):

.

Визначивши повний опір кола для змінного струму, можна застосувати також закон Ома для ділянки кола:

,                                               (5.2.6)

тобто закон Ома для змінного струму.

У колах змінного струму спостерігається резонанс. Резонанс спостерігається в тому разі, коли частота власних коливань системи збігається з частотою зовнішньої сили.

Під'єднаємо до джерела змінного струму резистор з активним опором R, конденсатор з ємнісним опором Х_С та котушку індуктивності з індуктивним опором Х_L (рис.5.2.9). Таке коло можна розглядати як своєрідний коливальний контур, який має власну частоту коливань. Якщо частота прикладеної змінної напруги збігається із власною частотою контуру, то в колі виникає резонанс - явище різкого зростання амплітудивимушених коливань струму у разі збігу частоти зовнішньої змінної напруги із власною частотою коливального контуру. При цьому контур протягом всього періоду буде використовувати енергію від джерела, нічого не повертаючи йому. Це призведе до різкого збільшення струму і напруги.

Умову резонансу легко отримати із закону Ома для змінного струму (5.2.6). Очевидно, що струм досягне свого найбільшого значення (рис.5.2.10) тоді, коли знаменник у виразі (5.2.6) буде найменшим, тобто за такої умови (умова резонансу):

.

Як видно з рівняння (5.2.6), якщо R Ю 0, резонансне значення струму може зростати без обмежень і, навпаки, зі збільшенням активного опору I_max зменшується, тому явище резонансу в цьому разі немає сенсу (R₁ < R₂ <  R₃, див.рис.5.2.10).

.

Явище електричного резонансу широко застосовують для здійснення радіозв'язку. За допомогою явища резонансу можна виділити окрему радіостанцію чи телецентр. Але якщо коло не розраховане на роботу в умовах резонансу, то великий струм і напруга можуть призвести до аварії.

Для створення коливань високої частоти, потрібних для радіозв'язку, стали необхідними системи, в яких генеруються незагасальні коливання за рахунок надходження енергії від джерела всередині системи; таку систему називають автоколивальною. А незагасальні коливання, які існують в системі без впливу на неї зовнішніх періодичних сил, називають автоколиваннями.

Прикладом автоколивальної системи є генератор на транзисторі. До її складу входять (рис.5.2.11):

1) - контур, який задає коливання, від індуктивності і ємності якого і буде залежати частота змінного струму генератора;

2) - джерело струму;

3) - транзистор із котушкою зворотного зв'язку.

.

Після замикання ключа К конденсатор ємністю С швидко заряджається від джерела струму і в коливальному контурі виникають вільні електромагнітні коливання. У змінному магнітному полі коливального контуру знаходиться котушка зворотного зв'язку L_зв, в якій також виникає ЕРС індукції, прикладена між емітером і базою транзистора. За такого з'єднання більшу частину періоду транзистор закритий, батарея відімкнена від контуру, в якому відбуваються вільні електромагнітні коливання. І лише двічі за період транзистор на дуже короткий час відкривається і підключає контур до батареї. За цей короткий час і відбувається накопичення енергії, втраченої контуром, і тому коливання не загасають.

Автоколивання відбуваються не лише в електричних системах, але і в механічних (наприклад, годинники з маятниками, органні труби, серце і легені людини).

За допомогою електромагнітних автоколивальних систем можна отримувати змінні струми із значеннями частот n₀ до 10¹¹ Гц, а у разі використання спеціальних конструкцій - ще з вищою частотою.

С Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишьследствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротность. Явление резонанса впервые было описаноГалилео Галилеем в 1602 г в работах, посвященных исследованию маятников и музыкальных струн.

Механика

Наиболее известная большинству людей механическая резонансная система — это обычные качели. Если вы будете подталкивать качели в соответствии с их резонансной частотой, размах движения будет увеличиваться, в противном случае движения будут затухать. Резонансную частоту такого маятника с достаточной точностью в диапазоне малых смещений от равновесного состояния, можно найти по формуле:

,

где g это ускорение свободного падения (9,8 м/с² для поверхности Земли), а L — длина от точки подвешивания маятника до центра его масс. (Более точная формула довольно сложна, и включает эллиптический интеграл). Важно, что резонансная частота не зависит от массы маятника. Также важно, что раскачивать маятник нельзя на кратных частотах (высших гармониках), зато это можно делать на частотах, равных долям от основной (низших гармониках).

Резонансные явления могут вызвать необратимые разрушения в различных механических системах.

В основе работы механических резонаторов лежит преобразование потенциальной энергии в кинетическую. В случае простого маятника, вся его энергия содержится в потенциальной форме, когда он неподвижен и находится в верхних точках траектории, а при прохождении нижней точки на максимальной скорости, она преобразуется в кинетическую. Потенциальная энергия пропорциональна массе маятника и высоте подъёма относительно нижней точки, кинетическая — массе и квадрату скорости в точке измерения.

Другие механические системы могут использовать запас потенциальной энергии в различных формах. Например, пружина запасает энергию сжатия, которая, фактически, является энергией связи её атомов.

Струна

Струны таких инструментов, как лютня, гитара, скрипка или пианино, имеют основную резонансную частоту, напрямую зависящую от длины, массы и силы натяжения струны. Длина волны первого резонанса струны равна её удвоенной длине. При этом, его частота зависит от скорости v, с которой волна распространяется по струне:

где L — длина струны (в случае, если она закреплена с обоих концов). Скорость распространения волны по струне зависит от её натяженияT и массы на единицу длины ρ:

Таким образом, частота главного резонанса зависит от свойств струны и выражается следующим отношением:

,

где T — сила натяжения, ρ — масса единицы длины струны, а m — полная масса струны.

Увеличение натяжения струны и уменьшение её массы (толщины) и длины увеличивает её резонансную частоту. Помимо основного резонанса, струны также имеют резонансы на высших гармониках основной частоты f, например, 2f, 3f, 4f, и т. д. Если струне придать колебание коротким воздействием (щипком пальцев или ударом молоточка), струна начнёт колебания на всех частотах, присутствующих в воздействующем импульсе (теоретически, короткий импульс содержит все частоты). Однако частоты, не совпадающие с резонансными, быстро затухнут, и мы услышим только гармонические колебания, которые и воспринимаются как музыкальные ноты.

Электроника

В электронных устройствах резонанс возникает на определённой частоте, когда индуктивная и ёмкостная составляющие реакции системы уравновешены, что позволяет энергии циркулировать между магнитным полем индуктивного элемента и электрическим полемконденсатора.

Механизм резонанса заключается в том, что магнитное поле индуктивности генерирует электрический ток, заряжающий конденсатор, а разрядка конденсатора создаёт магнитное поле в индуктивности — процесс, который повторяется многократно, по аналогии с механическим маятником.

Электрическое устройство, состоящее из ёмкости и индуктивности, называется колебательным контуром. Элементы колебательного контура могут быть включены как последовательно, так и параллельно. При достижении резонанса, импеданс последовательно соединённых индуктивности и ёмкости минимален, а при параллельном включении — максимален. Резонансные процессы в колебательных контурах используются в элементах настройки, электрических фильтрах. Частота, на которой происходит резонанс, определяется величинами (номиналами) используемых элементов. В то же время, резонанс может быть и вреден, если он возникает в неожиданном месте по причине повреждения, недостаточно качественного проектирования или производства электронного устройства. Такой резонанс может вызывать паразитный шум, искажения сигнала, и даже повреждение компонентов.

Приняв, что в момент резонанса индуктивная и ёмкостная составляющие импеданса равны, резонансную частоту можно найти из выражения

,

где   ; f — резонансная частота в герцах; L — индуктивность в генри; C — ёмкость в фарадах. Важно, что в реальных системах понятие резонансной частоты неразрывно связано с полосой пропускания, то есть диапазоном частот, в котором реакция системы мало отличается от реакции на резонансной частоте. Ширина полосы пропускания определяется добротностью системы.

СВЧ

В СВЧ электронике широко используются объёмные резонаторы, чаще всего цилиндрической или тороидальной геометрии с размерами порядка длины волны, в которых возможны добротные колебания электромагнитного поля на отдельных частотах, определяемых граничными условиями. Наивысшей добротностью обладают сверхпроводящие резонаторы, стенки которых изготовлены изсверхпроводника и диэлектрические резонаторы с модами шепчущей галереи.

Оптика

В оптическом диапазоне самым распространенным типом резонатора является резонатор Фабри-Перо, образованный парой зеркал, между которыми в резонансе устанавливается стоячая волна. Применяются также кольцевые резонаторы с бегущей волной и оптические микрорезонаторы с модами шепчущей галереи.

Акустика

Резонанс — один из важнейших физических процессов, используемых при проектировании звуковых устройств, большинство из которых содержат резонаторы, например, струны и корпус скрипки, трубка у флейты, корпус у барабанов.

Астрофизика

Орбитальный резонанс в небесной механике — это ситуация, при которой два (или более) небесных тела имеют периоды обращения, которые относятся как небольшие натуральные числа. В результате эти небесные тела оказывают регулярное гравитационное влияние друг на друга, которое может стабилизировать их орбиты.

Резонансный метод разрушения льда

Известно, что при движении нагрузки по ледяному покрову развивается система изгибных гравитационных волн (ИГВ). Это сочетание изгибных колебаний пластины льда и связанных с ними гравитационных волн в воде. Когда скорость нагрузки близка к минимальной фазовой скорости от ИГВ, вода прекращает поддержку ледяного покрова и поддержка осуществляется только упругими свойствами льда. Амплитуда ИГВ резко возрастает, и с достаточной нагрузкой, начинается разрушения. Потребляемая мощность в несколько раз ниже (в зависимости от толщины льда) по сравнению с ледоколами и ледокольными навесными оборудованиями. Этот метод разрушения льда известен как резонансный метод разрушения льда^. Ученый Козин, Виктор Михайлович получил экспериментальные теоретические кривые, которые показывают возможности своего метода.

3. Змінний струм Кількісно електричний струм характеризується диференційною векторною величиною густиною струму, або у випадку струму в проводах інтегральною величиною силою струму. Під час замикання в колі змінна електрорушійна сила (ЕРС) створює змінний струм. Значення такого струму і напруги в колі змінюються з часом за гармонічним законом. Ці періодичні зміни викликають періодичні коливання швидкості впорядкованого руху заряджених частинок.  Існує декілька способів отримання змінного струму, але якщо частота не перевищує 1000 Гц, то зазвичай його отримають методом обертання рамки в магнітному полі.  Рис.1 Рис.2 Нехай плоска рамка площею S рівномірно обертається в магнітному полі з індукцією  і кутовою швидкістю . У будь-який проміжок часу рамку пронизує магнітний потік (рис.1):  Ф = | |Scos,  де  - кут між вектором магнітної індукції  і вектором нормалі  , перпендикулярним до площини рамки;  = t, ( = /t). Тоді магнітний потік, який пронизує рамку,  Ф = | |Scost.  Змінний магнітний потік у рамці буде утворювати у ній ЕРС індукції, яка визначається законом Фарадея для електромагнітної індукції:  _i = – Ф' = – (BScost)' = BSsint = _msint,                       (5.2.5)  де _m = BS - амплітудне значення ЕРС індукції, _i = _msint - залежність ЕРС індукції в рамці, яка обертається в магнітному полі, від часу.  Якщо наведену ЕРС за допомогою кілець і щіток підвести до навантаження опором R, то на опорі виникає спад напруги, яка також змінюється за гармонічним законом:  U = U_maxsint або U = U_maxcost.  Під дією прикладеної напруги через навантаження буде проходити змінний струм  I = I_maxsin(t + ₀),  де I_max - максимальне значення струму; ₀ - зсув за фазою між коливаннями сили струму і напруги.  У промислових колах значення струму і напруги змінюються гармонічно з частотою 50 Гц. Змінна напруга на кінцях кола створюється генераторами на електростанціях. У промисловості в генераторах великої потужності зазвичай обертають не рамку в магнітному полі, а магніт в рамці. У цьому разі використовувати змінний струм можна без кілець і щіток, що технічно більш вигідно.