- •6. Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .
- •Признак Вейерштрасса (мажорантный признак)
- •7. Степенным рядом назовем ряд вида cn(z-z0)n, z0 -центр,
- •8. На любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости степенного ряда, сумма ряда есть непрерывная функция.
- •Арифметические операции над степенными рядами.
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Ряды Тейлора и Маклорена
Если ф-я f(x) имеет непрерывные производные вплоть до(n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
+ где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
Примеры: ☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺
● ●
10.Приближённое вычисление значений функций. Идея таких вычислений простая. Пусть известно значение функции в точке x0, и функция разлагается в окрестности точки x0 в ряд Тейлора. Тогда значение функции в точке x1, которое надо найти, равно:
,и принимается
. Естественно, мы должны гарантировать, что погрешность такого приближения не превышает заданной величины . Погрешность равна остатку ряда после n-го члена (или остаточному члену формулы Тейлора), поэтому необходимо строить оценку сверху для (или ). При оценке принципиально отличны два случая. Если остаток - знакочередующийся ряд, то просто оценивается по своему первому члену. Если остаток не является знакочередующимся рядом, то необходимо оценивать всю его сумму. Обычно в этом случае остаток мажорируют сходящейся геометрической прогрессией.
Вычисление интегралов. Подынтегральную функцию представляют в виде ряда Тейлора и почленно интегрируют. Пример: Вычислить J = с точностью 0,001.J = dx 1/x (x – x3/3! + x5/5! – . .) = ( x – x3/3!3 + x5/5!5 - . .) |0.50 = 1/2 –1/ 233!3 + ½55!5 - .Имеем 1/ 233!3 = 1/144 > 0.001 , ½55!5 = 1/19200 < 0.001 . Ряд знакочередующийся и по признаку Лейбница погрешность не превосходит модуля первого из отброшенных членов, т.е. точность 0,001 обеспечивают два первых члена ряда J = 1 + 1/144 = 0.4931
11.Периоди́ческая фу́нкция ― такая функция f(x), для которой существует положительное число T>0, такое что на всей области определения функции выполняется равенство f(x)=f(x+T). Наименьшее из этих чисел называется периодом функции.Интеграл от периодической функции. Если f(x) является периодической интегрируемой функцией с периодом T, то при любом a, < a < .Действительно,
так как, в силу периодичности,
, где x' = x-T. Таким образом, интеграл от периодической функции с периодом T по любому отрезку длины T имеет одно и то же значение. Отправляясь от непереодической функции f(x), заданной на отрезке a<=x<=a+T, можно построить периодическую функцию F(x) с периодом T, совпадающую с f(x) на отрезке a<=x<=a+T. Если рассуждать геометрически, то для этого нужно выполнить переносы графика функции f(x) параллельно оси x вправо и влево на расстоянии T,2T,3T……nT,. Этот процесс назовем периодическим продолжением функции f(x) за пределы отрезка a<=x<=a+T с периодом T. Основная тригонометрическая система является ортогональной на отрезке [-l, l] в следующем смысле: интеграл по отрезку [-l, l] от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а интеграл по отрезку [-l, l] от квадрата любой функции этой системы отличен от нуля.Пусть некоторая функция f (x) представлена в виде разложения по полному набору функций , ортогональных на промежутке
(a, b):
(1)
Составим скалярное произведение функций и f(x) на этом промежутке: (2)
Тогда (3). Если функции нормированы на единицу, то (4)
Ряд (1), в котором коэффициенты fn определяются формулой (3), называется обобщенным рядом Фурье, а числа fn – коэффициентами Фурье.Ряд Фурье — представление произвольной функции с периодом в виде ряда
12. Пусть f(x) – четная функция, определенная и интегрируемая на симметричном промежутке . Тогда
Интеграл от четной функции сводится к двойному интегралу от половины симметричного промежутка Пусть f(x) – нечетная функция, определенная и интегрируемая на симметричном промежутке . Тогда
Интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю:
13. и 14. Не сделал жульшпед