Порядок проведения работы

1. Определить коэффициенты в уравнении регрессии

  линейной;

  логарифмической;

  степенной;

  экспоненциальной.

2. Для линейной регрессии определить степень связи r ².

3. Используя пакет Microsoft Excel, сформировать таблицу исходных данных согласно варианту

Для построения поля рассеяния и теоретической кривой воспользоваться опцией «Диаграмма» в меню «Вставка». Выделить диапазон значений. Прототипом диаграммы выбрать «Точечную» (рисунок 2.2).

 

Рисунок 2.2 – Процедура построения теоретической кривой

В режиме диалога с мастером диаграмм создать поле рассеяния показателя.

С помощью опции «Добавить линию тренда», в меню «Диаграмма», построить теоретическую кривую с указанием уравнения регрессии и достоверности аппроксимации (рисунок 2.3).

 

Рисунок 2.3 – Последовательность построения теоретической кривой

 Результат построения приведен на рисунке 2.4.

 

Рисунок 2.4 – Теоретическая кривая, уравнение регрессии и достоверность аппроксимации.

Аппроксимацию сделать по линейному, логарифмические, степенной, экспоненциальный закон распределения. В качестве базового выбрать закон распределения закон с максимальной достоверностью аппроксимации.

4. Составить выводы.

Содержание отчета

1. Титульный лист

2. Цель работы.

3. Задание на лабораторную работу.

4. Краткие теоретические сведения.

5. Определить коэффициенты и составить уравнения регрессии функций:

  линейной;

  логарифмической;

  степенной;

  экспоненциальной.

6. Определить степень связи для линейной регрессии

7. Построить графики аппроксимации по линейному, логарифмическому, степенному, экспоненциальному закону распределения с указанием уравнения регрессии и достоверности аппроксимации

8. Выводы.

Вопросы для самоконтроля

1. Классификация моделей при регрессивном анализе.

2. Основные свойства дисперсии.

3. Физический смысл коэффициента корреляции.

4. Общий вид уравнения гиперболической, степенной, экспоненциальной регрессии.

5. Основные виды распределения случайных величин: линейный, логарифмический, степенной, экспоненциальный.

3.1 Дисперсионный анализ экспериментальных данных с нормальным законом распределения

Из всех изученных к настоящему времени случайных величин, наиболее часто при обработке экспериментальных данных исследователи используют нормальное (Гауссово) распределение. Отметим, что согласно центральной предельной теореме, которая гласит, что при определенных условиях распределение нормированной суммы n независимых случайных величин, распределенных по произвольному закону, стремится к нормальному при n стремящемся к бесконечности. Условия, при которых теорема оказывается справедливой, состоят в том, что различные случайные величины должны иметь конечные дисперсии и дисперсия любой случайной величины не должна быть слишком большой по сравнению с дисперсиями других.

При обработке экспериментальных данных эта теорема имеет очень большое значение, поскольку отклик является случайной величиной в результате влияния неконтролируемых факторов, число которых, в общем случае, стремится к бесконечности. Следовательно, если при планировании эксперимента учтены все наиболее существенные факторы и затем, при проведении опытов, они контролируются, то при обработке экспериментальных данных можно предполагать, что отклик не должен противоречить нормальному закону распределения.

Для случайной величины, не противоречащей нормальному закону, функция распределения задается формулой:

,

а соответствующая ей плотность распределения имеет вид:

и определяется двумя параметрами M_x – математическим ожиданием и σ² - дисперсией. На рисунке 3.1. показан график плотности распределения вероятности нормального закона – кривая распределения, которая называется нормальной кривой или кривая Гаусса.

При этом математическое ожидание равно:

при i=1,2,3…n,

а дисперсия случайной величины X равна:

при i=1,2,3…n,

где n – число опытов, x_i – значение случайной величины X,

Рисунок 3.1 – Кривая Гаусса

Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины X, подчиненной нормальному закону с параметрами M_x и σ, на участок от α до β. Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой:

где F(x) - функция распределения величины X.

Найдем функцию распределения F(x) случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами M_x и σ. Плотность распределения величины X равна:

Отсюда находим функцию распределения

Сделаем в интеграле (6.3.3) замену переменной

и приведем его к виду:

Данный интеграл не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения или (так называемый интеграл вероятностей), для которого составлены таблицы. Существует много разновидностей таких функций. Выберем в качестве такой функции

Нетрудно видеть, что эта функция представляет собой не что иное, как функцию распределения для нормально распределенной случайной величины с параметрами M_x=0 и σ=1.

Условимся называть функцию Ф*(x) нормальной функцией распределения. В приложении A (таблице 1) приведены таблицы значений функции Ф*(x).

Выразим функцию распределения величины X с параметрами M_x и σ через нормальную функцию распределения Ф*(x). Очевидно,

.

Теперь найдем вероятность попадания случайной величины X на участок от α до β.

Таким образом, мы выразили вероятность попадания на участок случайной величины X, распределенной по нормальному закону с любыми параметрами, через стандартную функцию распределения Ф*(x), соответствующую простейшему нормальному закону с параметрами 0,1.

На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно центра рассеивания M_x. Рассмотрим такой участок длины 2l (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Функция плотности распределения случайной величины на участке, симметричном относительно центра рассеивания

Вычислим вероятность попадания на этот участок:

.

Учитывая свойство симметричности функции Ф*(x) и придавая левой части формулы более компактный вид, получим формулу для вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону на участок, симметричный относительно центра рассеивания:

Решим следующую задачу. Отложим от центра рассеивания M_x.последовательные отрезки длиной σ (рисунок 3.3) и вычислим вероятность попадания случайной величины X в каждый из них. Так как кривая нормального закона симметрична, достаточно отложить такие отрезки только в одну сторону.

Рисунок 3.3 – Функция плотности распределения случайной величины по «правилу трех сигма»

находим вероятность попадания случайной величины X на данные участки:

Как видно из этих данных, вероятности попадания на каждый из следующих отрезков (пятый, шестой и т.д.) с точностью до 0,001 равны нулю.

Округляя вероятности попадания в отрезки до 0,01 (до 1%), получим три числа, которые легко запомнить:

0,34;          0,14;      0,02.

Сумма этих трех значений равна 0,5. Это значит, что для нормально распределенной случайной величины все рассеивания (с точностью до долей процента) укладывается на участке M_x±3σ.

Это позволяет, зная среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно указать интервал её практически возможных значений. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен в математической статистике под названием «правило трех сигма». Из правила трех сигма вытекает также ориентировочный способ определения среднего квадратического отклонения случайной величины: берут максимальное практически возможное отклонение от среднего и делят его на три. Разумеется, этот грубый прием может быть рекомендован, только если нет других, более точных способов определения σ.

Выборочные параметры являются случайными величинами, их отклонения от генеральных совокупностей (т.е. погрешности их определения) также будут случайными. Оценка этих отклонений носит вероятностный характер – можно лишь указать вероятность той или иной погрешности. Для этого в математической статистике пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Доверительный интервал – интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения.

Доверительная вероятность – вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.

Оценивание с помощью доверительного интервала – способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала.

Расчет границ доверительного интервала для математического ожидания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону при неизвестном среднем квадратическом отклонении, выполняется по следующим этапам:

Для выборки значений случайной величины X с нормальным законом распределения рассчитываются несмещенные точечные оценки математического ожидания

при i=1,2,3…n,

и среднего квадратического отклонения 

при i=1,2,3…n,

Затем, так как на практике, число измерений конечно и не превышает 10…30. При малом числе измерений фактическая дисперсия σ² неизвестна, поэтому для построения доверительного интервала математического ожидания используют выборочную дисперсию s² и приведенную случайную величину t. Где t – случайная величина, имеющая распределение, отличное от нормального, зависящее от числа степеней свободы l=n-1 (t – распределение или распределение Стьюдента). При больших значениях n распределение Стьюдента приближается к стандартному нормальному распределению.

Границы доверительного интервала по методу Стьюдента определяется следующим образом:

,

где t2(1-α/2,n-1)=-t1(α/2,n-1) – табличное значение зависящее от α=(1-P) и степеней свободы n-1, значения t_α даны в приложении А, (таблица 2).