4. Метод неопределенных коэффициентов

Пусть табличная функция содержит m точек. В этом случае можно построить различные виды кусочной интерполяции (кусочно-линейная, кусочно-параболическая и т.д.). В случае непрерывной интерполяции, когда используются все точки одновременно, функцию f(х) будем искать в виде полинома степени n: f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…a_nxⁿ. Степень полинома всегда на единицу меньше числа точек. Следовательно, справедливо соотношение: n=m-1.

Для нахождения неизвестных коэффициентов необходимо построить систему линейных уравнений m-го порядка из условия прохождения полинома через все m точек:

Данную систему можно решить методом Гаусса, Зейделя, Простой интерации, а также использованием специальных утилит.

; ; (2)

5. Численное интегрирование

5.1. Метод левых прямоугольников

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка . Точки деления будут: x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2 h, ... , x_n-1=a+(n-1) h; x_n=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f(x) в узлах, обозначим их y₀, y₁, y₂, ... , y_n. Cтало быть, y₀=f(a), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), ... , y_n=f(b). Числа y₀, y₁, y₂, ... , y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x₀, x₁, x₂, ... , x_n. Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

Формула левых прямоугольников:

 

Рис.1.

5.2. Метод средних прямоугольников

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка . Точки деления будут: x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2 h, ... , x_n-1=a+(n-1) h; x_n=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f(x) в узлах, обозначим их y₀, y₁, y₂, ... , y_n. Cтало быть, y₀=f(a), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), ... , y_n=f(b). Числа y₀, y₁, y₂, ... , y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x₀, x₁, x₂, ... , x_n. Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

5.3. Формула средних прямоугольников

Рис.2

5.4. Метод правых прямоугольников

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка . Точки деления будут: x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2 h, ... , x_n-1=a+(n-1) h; x_n=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f(x) в узлах, обозначим их y₀, y₁, y₂, ... , y_n. Cтало быть, y₀=f(a), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), ... , y_n=f(b). Числа y₀, y₁, y₂, ... , y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x₀, x₁, x₂, ... , x_n. Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.