10. Отношение порядка: строгого и нестрогого. Примеры. Полное отношение.

Рефлексивное, антисимметричное, транзитивное бинарное отношение называется отношением

нестрогого порядка.

Антирефлексивное, антисимметричное, транзитивное бинарное отношение называется отношением строгого порядка.

Примерами отношений первого вида являются А1, В1, второго– А2, С3.

Отношения строгого и нестрогого порядка тесно связаны между собой. Пусть G – отношение нестрогого порядка на множестве A. Бинарное отношение Ḡ=G\{(a,a):a€A} является

отношением строгого порядка. Столь же просто (добавлением диагонального множества) можно из отношения строгого порядка получить отношение порядка нестрогого. Отношения нестрогого порядка А1 и В1 имеют существенное различие: для любых двух натуральных чисел a,b выполняется хотя бы одно из условий: a≤b, b≤a. Иначе говоря, любые два натуральных числа сравнимы по отношению порядка. А вот для отношения В1 (на множестве точек плоскости) это не так.

Отношение G на множестве А называется полным (ленейным) если любых элементов Ya,b€A; либо (a,b)€G, либо (b,a)€G

11. Отображение (функция). Примеры. Постоянная функция. Тождественная функция. Образ и прообраз множества

Пусть A, B - множества.

Отображением (функцией) f из A в B называется правило, которое каждому элементу множества A сопоставляет некоторый элемент множества B. Обозначение: f:A→B. Если a€A, то сопоставленный ему элемент обозначается f(a).

Примеры.

1. Функции x, sin x, x² отображают множество вещественных чисел в то же множество.

2. Функция f:A→B, определенная правилом (Yx€A)f(x)=b, где b – фиксированный элемент множества B это постоянная функция.

3. Тождественная функция id:A→A, определенная по правилу (Yx€A)id(x)=x (. Обозначение от слова «identification». Введем важные понятия образа и прообраза множества при

отображении.

Образом множества A1 A при отображении f:A→B называется множество f(A1)={f(x):x€A1.

Прообразом множества B1 B при отображении f:A→B называется множество f¯¹(B1)={x€A:f(x)€B1}. Образом и прообразом пустого множества по определению являются пустые множества.

Примеры. Образом множества [-1,1] при отображении x2 является отрезок [0,1]. Прообраз одноэлементного множества {1} при этом отображении это двухэлементное множество {-1,1}.

Образом любого непустого множества при постоянном отображении из примера 2 является одноэлементное множество {b}. При отображении из примера 2 прообраз любого множества,

содержащего элемент b, есть множество A; прообраз есть Æ, если множество B1 элемента b не содержит. Прообраз и образ любого множества при тождественном отображении совпадают с этим множеством.

12. Инъективное отображение. Сюръективное отображение. Биективное отображение. Определение. Пусть А и В некоторые множества, тогда отображением множества А во множество В назовем правило, согласно которому каждому элементу множества А поставлен в соответствии единственный элемент во множестве В.

 

Элемент у∈Y, который при помощи отображения f поставлен в соответствие элементу х∈X, называется образом элемента х и обозначается через f(x); в той же ситуации элемент х называется прообразом элемента у. Образ и прообраз пустого множества – пустое множество. Отображение f из Х в Y называется инъективным, если для любых х1, х2 ∈Х из неравенства х1 ≠ х2 следует неравенство f(x1) ≠ f(x2). Отображение f из Х в Y называется суръективным, если множество значений f(X) совпадает с областью значений Y.  Т.е. если у каждого элемента множества У есть прообраз. Отображение f из Х в Y называется биективным, если оно суръективно и инъективно одновременно. Если существует инъективное (соответственно биективное) отображение из Х в Y, то говорят, что мощность Х не больше мощности Y (соответственно мощность Х равна мощности Y).