Функції для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь.

В MathCad є багато убудованих функцій для рішення диференціальних рівнянь. Всі вони, крім Odesolve, вимагають певної непростої форми запису рівнянь. Функція Odesolve дозволяє записувати рівняння в блоці рішення у звичному виді.

Звертання до функції Odesolve вимагає запису обчислювального блоку, у який входить три частини.

Ключове слово Given.
Диференціальне рівняння й початкові умови до нього або система диференціальних рівнянь й умови до неї.
Функція Odesolve(x, xk, n), де x – ім'я змінної, щодо якої вирішується рівняння; xk – кінець інтервалу інтегрування (початок інтервалу інтегрування зазначено в початкових умовах); n – необов'язковий внутрішній параметр, що визначає число кроків інтегрування, за які повинне бути знайдене рішення диференціального рівняння.

Чим більше n, з тим більшою точністю буде вирішене рівняння, тим більше буде час рішення.

Наявність інших математичних виражень в обчислювальному блоці між ключовими словами Given й Odesolve неприпустимо.

Вихідне рівняння можна записувати як з використанням оператора диференціювання, так і зі штрихом. Для уведення штриха використайте сполучення клавіш Ctrl+F7.

Функція Odesolve повертає рішення диференціального рівняння у вигляді функції, тому знайдене рішення можна інтегрувати й диференціювати.

Приклади використання функції Odesolve наведені нижче.

Исходное уравнение

Дифференциальное уравнение

с начальными условиями

Розглянемо ще три функції, призначені для рішення диференціальних рівнянь й їхніх систем: rkfixed, Rkadapt, Bulstoer.

Звертання до цих трьох функцій виконується однаково:

rkfixed (y, x1, x2, m, D).

Аргументи функції перераховані нижче.

y – вектор початкових умов розмірності n (n – порядок диференціального рівняння або число рівнянь у системі, якщо вирішується система диференціальних рівнянь).
x1 й x2 – граничні точки інтервалу, на якому шукається рішення диференціального рівняння. Початкові умови, задані у векторі y,– це значення рішення в точці х1.
m – число точок, не враховуючи початкової, у яких шукається наближене рішення.
D – символьний вектор, у якому записані похідні невідомих функцій.

Функції rkfixed й Rkadapt реалізують метод Рунге-Кутта четвертого порядку.

Функції rkfixed шукає рішення з постійним кроком. Функція Rkadapt перевіряє, як швидко змінюється наближене рішення, і адаптує відповідно крок рішення. Це дозволяє підвищити точність і скоротити час рішення задачі. Функція Bulstoer використовує метод Булірша-Штера. Коли відомо, що рішення є гладкою функцією, то краще задіяти функцію Bulstoer. Знайдене функцією Bulstoer рішення є більш точним, ніж в інших функцій.

Для рішення диференціальних рівнянь або їх систем необхідно задати наступні величини: