- •1.Таблица производных
- •Элементарные функции
- •2.Таблица интегралов
- •3.Тройной интеграл его вычисление
- •4. Замена переменной в тройном интеграле
- •7. Криволинейный интеграл 1го рода и его вычисление
- •8.Криволинейный интеграл 2го рода и его выч
- •9.Вычисление площади области ограниченной прямой
- •10.Касательная плоскости и нормаль к поверхности
- •11. Поверхн. Интеграл 1го рода
- •12.Поверхностный интеграл 2го рода и его выч
- •13.Д,у. Осн понятия. Задача Коши
- •14.Ду с разделяющимися переменными
- •15.Однородные уравнения
- •16.Линейные ду 1го порядка.Метод подстановки Бернули
- •Метод Бернулли
- •17 Метод вариации произвольного постоянного
- •18.Уравнение Бернули
- •19.Ду в полных дифференциалах
- •20.Ду высших порядков. Задача Коши
- •21.Ду допускающее понижение порядков
- •22.Определитель Вронского.Структура решения неоднор ду
- •23.Лин однор ду с пост коэф
- •24.Линейные неоднор ду.Метод Лагранжа
- •25.Лин неоднорДу с пост коэф
- •26. Числовой ряд. Сумма ряда
- •30.Радикальный признак коши
- •33. Знакопеременные
- •36.Теоремы о дифференцировании
- •38.Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.
- •40. Разложения в ряд Маклорена ех
- •41. Разложения в ряд Маклорена некоторых функций
- •42. Разложения в ряд Маклорена некоторых функций
- •43.Примерение рядов для постр решений ду
- •44.Прим рядов для вычисл определ интеграла
- •46.Тригонометрический ряд Фурье
- •47. Разложение в ряд Фурье 2l – периодичных функций
- •48. Ряд Фурье для четных и нечетных функций
- •49. Разложение в ряд Фурье непериодических функций
- •50. Комплексная форма ряда Фурье
- •51. Преобразование Фурье
- •52. Ряд Фурье по полной замкнутой системе ортогональной функции
- •53. Понятие о функции комплексной переменной
- •54. Дифференцируема функция комплексного переменного
8.Криволинейный интеграл 2го рода и его выч
Если существует предел (не зависящий от способа составления интегральных сумм)
,
то он называется криволинейным интегралом по координате y от функции f(M) по ориентированной кривой АВ(L) (КРИ-2) и обозначается так:
Если вдоль кривой AB(L) на плоскости определены две функции и и существуют интегралы
,
то их сумму называют КРИ-2 (общего вида) (2) на плоскости .
Криволитнейный интеграл II рода (КРИ-2) (общего вида) в пространстве называют выражением вида
(3)
Основные свойства КРИ-2.
1.
2.
3. , если кривая разбита на две части и и движение по этим частям установлено в том же направлении, как и по всей кривой.
4. Если направление движения по L(AB) изменить на противоположное (двигаясь от В к А), то знаки всех проекций в интегральной сумме (1) меняются на противоположные и поэтому .
9.Вычисление площади области ограниченной прямой
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то
Площадь криволинейной трапеции
Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функцииf (x) (рисунок 1), определяется по формуле
|
|
|
Рис.1 |
|
Рис.2 |
Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой
10.Касательная плоскости и нормаль к поверхности
Пусть поверхность задана уравнением
(1)
в неявном виде. Будем считать, что и в некоторой окрестности точки функция имеет непрерывные частные производные, одновременно не равные нулю. Тогда
(2)
Мы пишем вместо .
Для определенности предположим, что . Тогда на основании теоремы о неявной функции существует окрестность точки , в которой поверхность описывается явно непрерывно дифференцируемой функцией . Уравнение касательной плоскости к в точке , как мы знаем, имеет вид ,где
.
В силу этого уравнения касательной плоскости к в точке запишется так:
, (3)
а уравнение нормали к в точке - так:
. (4)
Те же уравнения (3), (4) мы получим, если предположить, что или . В этих случаях в окрестности поверхность описывается явно соответственно уравнениями
.
Мы видим, что при условии (2) поверхность в любой точке имеет касательную плоскость, непрерывно изменяющуюся при непрерывном передвижении точки . Такую поверхность называют гладкой поверхностью .
Другое дело, если . В этом случае нельзя гарантировать, что в точке существует касательная плоскость к . Она может существовать, а может и не существовать.