5 Построение, моделирование и анализ временных рядов

Цель занятия — изучение методологии построения моделей временных рядов, вычисления и анализа их показателей, оценки а вторегрессии и автокорреляции, построение аддитивных и мультипликативных моделей временных рядов, их анализ.

Данная тема предполагает детальный анализ и усвоение основных формул, взаимозависимостей между показателями, характеризующими рассматриваемые модели, умение анализировать результаты. Рассчитываются показатели авторегрессии и автокорреляции, сезонности. Особое внимание уделяется построению прогнозов по моделям.

Задача 1 На основе помесячных данных о потреблении электроэнергии в регионе (млн кВт ч) за последние 3 года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приводятся ниже:

Таблица 5.1 Исходные данные

Январь	+25	Май	-32	Сентябрь	+2
Февраль	+10	Июнь	-38	Октябрь	+15
Март	+6	Июль	-25	Ноябрь	+27
Апрель	-4	Август	-18	Декабрь	?

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

(при расчете параметров тренда для моделирования переменной времени использовались натуральные числа ).

Задание:

1. Определите значение сезонной компоненты за декабрь.

2. На основе построенной модели дайте точечный прогноз ожидаемого потребления электроэнергии в течение первого квартала следующего года.

Задача 2 На основе поквартальных данных об уровне безработицы в летнем курортном городе (% от экономически активного населения) за последние 5 лет была построена мультипликативная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за каждый квартал приводятся ниже:

1 квартал…….1,4 3 квартал …..0,7

2 квартал …….0,8 4 квартал …..-

Уравнение тренда выглядит следующим образом: (при расчете параметров тренда для нумерации кварталов использовались натуральные числа ).

Задание:

1. Определите значения сезонной компоненты за 4 квартал.

2. На основе построенной модели дайте точечные прогнозы уровня безработицы на 1 и 2 квартал следующего года.

Задача 3 В таблице указаны остатки регрессии.

Таблица 5.2 Исходные данные

Год	Остатки	Год	Остатки	Год	Остатки
1999 2000 2001 2002	-0,7 0,0 -0,2 0,9	2003 2004 2005 2006	0,0 0,3 -0,1 -0,1	2007 2008 2009 2010	0,0 0,3 -0,3 -0,1

Задание:

1. Оцените автокорреляцию остатков.

2. Примените критерий Дарбина-Уотсона и сделайте выводы относительно рассматриваемой регрессии.

Задача 4 В таблице приводятся данные об уровне дивидендов, выплачиваемых по обыкновенным акциям (в процентах), и среднегодовой стоимости основных фондов компании (Х, млн.руб.) в сопоставимых ценах за последние 9 лет.

Таблица 5.3 Исходные данные

Показатель	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Среднегодовая стоимость основных фондов	72	75	77	77	79	80	78	79	80
Дивиденды по обыкновенным акциям	4,2	3,0	2,4	2,0	1,9	1,7	1,8	1,6	1,7

Задание:

1 Определите параметры уравнения регрессии по первым разностям и дайте их интерпретацию. В качестве зависимой переменной используйте показатель дивидендов по обыкновенным акциям.

2 В чем состоит причина построения уравнения регрессии по первым разностям, а не по исходным уровням рядов?

Задача 5 Годовое потребление товара А и доходы населения (тыс. руб.) за 1989 – 1997 гг. приведены в таблице.

Таблица 5.4 Исходные данные

Показатель	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Потребление	46	50	54	59	62	67	75	86	100
Доходы	53	57	64	70	73	82	95	110	127

Задание:

1. Определите уравнение регрессии, включив в него фактор времени, если известно, что

2. Интерпретируйте полученные результаты.

Задача 6 Изучается зависимость объема продаж бензина ( ) от динамики потребительских цен ( ). Полученные за последние 6 кварталов данные представлены в таблице.

Таблица 5.5 Исходные данные

Показатель	1 кв.	2 кв.	3 кв.	4 кв.	5 кв.	6 кв.
ИПЦ, %	100	104	112	117	121	126
Средний за день объем продаж бензина в течение квартала, тыс.л.	89	83	80	77	75	72

Известно также, что

Задание:

1. Постройте модель зависимости объема продаж бензина от ИПЦ с включением фактора времени.

2. Дайте интерпретацию параметров полученной вами модели.

Задача 7 Динамика цен на товар А по кварталам характеризуется следующими данными:

Таблица 5.6 Исходные данные

t	1	2	3	4	5	…	20	21	22	23	24
Yt	2	3	3	6	4	…	15	12	13	13	14

Получены коэффициенты автокорреляции уровней временного ряда:

коэффициенты автокорреляции i-го порядка.

Задание:

1. Постройте два лучших уравнения авторегрессии первого порядка. Оцените значимость полученных уравнений.

2. Постройте уравнение авторегрессии второго порядка. Для оценки параметров регрессии используйте МНК.

3. Постройте прогноз на 25-й квартал по уравнению авторегрессии второго порядка.

В расчетах используйте следующие данные:

при

при лаге