Понятие средней величины. Основные условия использования средних величин.
Средняя величина – это обобщённый показатель, который характеризует типичный уровень развития явления в конкретных условиях места и времени.
Вычисление среднего – это распространённый приём обобщения, т.к. он выражает то общее, что типично для всех единиц изучаемой совокупности.
В каждом явлении сочетается случайность и необходимость. При вычислении средних величин в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления. В случае необходимости обобщения расчёт средних характеристик приводит к замене множества индивидуальных значений признака одним средним показателем, который характеризует всю совокупность явления. С помощью таких расчётов можно выявить закономерности, присущие массовым общественным явлениям, но не заметным в единичных явлениях.
Основные условия – это расчёт средних для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Расчёт средних величин для неоднородных совокупностей искажает характер общественного явления. На практике чаще всего используются системные средние.
В современных условиях рыночной экономики средние являются инструментом для изучения объективных закономерностей социально-экономических явлений, но в экономическом анализе нельзя ограничиваться только средним показателем, т.к. за благоприятными средними могут скрываться серьёзные недостатки деятельности предприятия. Средняя должна вычисляться для большого числа единиц совокупности.
Виды средних.
Средняя арифметическая простая (пример).
Средняя арифметическая взвешенная (пример).
Мода и медиана.
Мода выражается в единицах усредняемого признака. Моду можно определить графически, для этого нужна гистограмма. В самом высоком прямоугольнике две пересекающиеся линии, из точки пересечения опускается перпендикуляр на ось OX – это и есть мода. Графические значения должны совпадать.
Mo = Xo + h*( (f2-f1) / (f2-f1) + (f2-f3) )
Медиана – значение признака у средней единицы ранжированного ряда. При нормальном законе распределения среднего арифметического и мода, и медиана могут быть равны. Определение мед.:
Опред. порядковый номер медиана (сумма Fe/ч)
По столбцу Cum F1 опред. (тариф. разряд, интервал)
Находим по формуле: Me = Xo + h* ( (∑F1/2 – Sme – 1) / fmc )
Sme – Cum F1
Для графического изображения используется куммулята по оси ОY поряд. номер медианы, проводится линия параллельно оси OX до пересечения с куммулятой из точки пересечения перпендикуляра к OX – это медиана.
Показатели вариации. Абсолютные и относительные.
Вариация – это различие численных значений признака. По показателям вариации определяется однородность совокупности. В отклонениях значений признака от сред. Величины проявляется развитие явления.
Абсолютные показ. вар.:
Размах вариации:
R = Xmax – Xmin
Недостаток состоит в том, что он опирается только на крайние значения совокупности, т.е. нет информ. о вариации признака внутри совокупности.
Среднее линейное отклонение d (формула простая и взвешенная):
Этот показатель определяет на сколько единиц в среднем индивидуальные значения признака отличаются от среднего арифметического.
S – среднее квадратичное отклонение
Определяет то же самое, что и линейное отклонение (d), но значение его всегда больше, чем d, т.е. этот показатель точнее. Выражается в именованных числах.
Относительный пок. вар. – коэффициент вариации. Рассчитывается как отношение сред. квадрат. к сред. арифметич.
V = S / X * 100%
Если он меньше 40%, то это означает, что среднее арифметическое выбрано надёжно и совокупность однородна. Если больше 40%, то это означает, что совокупность неоднородна и среднее арифметическое выбрано ненадёжно.
Дисперсия – это средняя из квадратов отклонений значений признака от средней величины.
Определяет дисперсия то же самое, что и сред. квадратическое отклонение (S). Сложность использования дисп. в том, что она выражается в квадратичных единицах.
По свойству мажурантности среднее квадратичное отклонение S всегда больше, чем среднее линейное откл. (d). Если распределение признака близко к нормальному распределению или симметричному, то выполняются такие соотношения: S = 1,25d и d = 0,8S.
По теореме Чебышева: 75% значений признака попадает в интервал от
-2S≤X≤2S и 89% от -3S≤X≤3S.
24. Коэффициент Джини и построение кривой Лоренца.