Образец выполнения контрольных заданий
Задание 1. Найти производную функции.
а) у = х2 (cos x – 4 sin x).
Решение. Воспользуемся формулой (uv)=uv+uv и таблицей производных.
б)
Решение. Воспользуемся формулой
в) у =
Решение. Имеем дважды сложную функцию
г)
Решение. Имеем функцию у = у(х), заданную неявно. Продифференцируем это равенство, считая, что sin y, e – y – сложные функции:
В левой части группируем слагаемые с у', в правую часть переносим слагаемые, не содержащие у'.
д). .
Решение. Имеем показательно-степенную функцию .
Прологарифмируем данное равенство:
Продифференцируем данное равенство:
Задание 2. Найти для указанных функций.
Решение. Находим производную 1го порядка по правилу дифференцирования дроби.
Находим вторую производную:
2)
Решение. Функция задана параметрически.
Находим производную первого порядка
Производная второго порядка
2 )
Р ешение. Найдем
и
Первая производная:
Вторая производная:
Задание 3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график.
а) .
1) Область определения функции находим из условия:
Д(у) =
2) Функция не является ни четной ни нечетной, т.к. Д(у) несимметричное относительно х = 0 множество.
3) Находим точки пересечения с осями координат.Если х = 0, то у = 0.
Если у = 0, то х = 0.
График функции проходит через точку (0;0).
4) а) вертикальная асимптота х = –1.
Найдем односторонние пределы:
, кривая внизу.
, кривая вверху.
б) Наклонная асимптота. Находим:
Наклонная асимптота у = х – 3.
П остроим ее по точкам:
х = 0 х = 3
у = –3 у = 0
в) горизонтальная асимптота.
.
Горизонтальных асимптот нет, но при х +, у+ (кривая справа вверху), а при х –, у – (кривая слева внизу).
5) Исследуем функцию на экстремум. Находим производную:
Находим критические точки:
у' = 0 при х = 0 или х = – 4
у' не существует при х = –1 Д(у).
Отметим точки х = –1, х = 0, х = –4 на числовой прямой и определим знак производной в каждом интервале:
mаx нет экстр. min
у'' + – – + х
у – 4 – 1 0
Экстремальные точки:
т. max
т. min
Строим схематично график функции рис. 1.
Находим:
у'' = 0 при х = 0.
у'' не существует при х = –1 Д(у).
нет перегиба нет перегиба
– + + х
–1 0
рис. 1.
2.
Д(у): х > 0, т.е. х .
Функция не является ни четной ни нечетной, т.к. Д(у) не симметрична относительно х = 0.
х 0, значит график ось Оу не пересекает.
Если у = 0, то х = 0 Д(у) или ln х = 0, ln x = ln 1, x = 1.
Отмечаем точку (1;0).
а) вертикальная асимптота х = 0:
Значит прямая х = 0 не является асимптотой но при х 0 справа кривая стремится к у = 0, т.е. к точке (0;0) снизу.
б) наклонная асимптота. Находим:
, нет наклонной асимптоты.
в) горизонтальная асимптота. Находим:
Горизонтальной асимптоты нет, но при . Кривая находится справа вверху.
находим:
у' = 0 при х = 0 или
min
у' – + х
у 0
Схематично изображаем график функции (рис. 2.)
6. Находим:
у'' = 0 при .
у'' существует во всех точках, Д(у)
т. перегиба
у'' – + х
у 0
Уточняем график функции точкой перегиба.
х
1 у
рис. 2
2.
Д(у) = .
Функция не является ни четной, ни нечетной.
Если х = 0, у = 1.
Если у = 0, то х + 1 = 0, x = –1.
Отмечаем точки (0;1), (–1;0).
а) вертикальных асимптот нет.
б) наклонная асимптота. Находим:
к = 0 при х .
,
значит наклонных асимптот нет.
в) горизонтальная асимптота. Находим:
у = 0 – асимптота при . Кривая стремится к оси Ох при х+.
Кривая слева находится внизу.
Находим:
Находим критические точки:
у' = 0 при х = 0.
max
у' + – х
у
0
у'(–1)>0, у' (1)<0.
Изобразим схематично график функции (рис. 3.).
рис. 3
6)
у'' = 0 при х = 1.
т . перегиба
у'' – + х
у
1
у''(–1)<0, у''(2)>0.
Контрольная работа
Задача 1. Найти производную функции:
1.1 ; ; ;
; ; .
1.2 ; ; ;
; ; .
1.3
.
1.4
.
1.5
.
1.6
.
1.7
/
1.8
.
1.9
.
1.10
.
1.11
/
1.12
.
1.13
.
1.14
.
1.15
.
1.16
.
1.17
.
1.18
.
1.19
.
1.20
.
1.21
.
1.22
.
1.23
.
1.24
.
1.25
.
1.26
.
1.27
.
1.28
.
1.29
.
1.30
.
Задача 2. Найти производные второго порядка.
Задача 3. Методом дифференциального исчисления исследовать и построить график функции.
.
Задача 4. Пользуясь правилом Лопиталя вычислить пределы.
4.1 |
|
|
4.2 |
|
|
4.3 |
|
|
4.4 |
|
|
4.5 |
|
|
4.6 |
|
|
4.7 |
|
|
4.8 |
|
|
4.9 |
|
|
4.10 |
|
|
4.11 |
|
|
4.12 |
|
|
4.13 |
|
|
4.14 |
|
|
4.15 |
|
|
4.16 |
|
|
4.17 |
|
|
4.18 |
|
|
4.19 |
|
|
4.20 |
|
|
4.21 |
|
|
4.22 |
|
|
4.23 |
|
|
4.24 |
|
|
4.25 |
|
|
4.26 |
|
|
4.27 |
|
|
4.28 |
|
|
4.29 |
|
|
4.30 |
|
|
Задача 5. С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить. С точностью до 0,001.
, где - номер варианта.
Задача 6. Вычислить действительные корни уравнения с точностью 0,01. Значения а и взять из таблицы.
Таблица
№ вар |
а |
|
6.1 |
2 |
-8 |
6.2 |
1 |
1 |
6.3 |
2 |
-3 |
6.4 |
2 |
5 |
6.5 |
2 |
-8 |
6.6 |
3 |
-5 |
6.7 |
4 |
-8 |
6.8 |
3 |
-1 |
6.9 |
5 |
2 |
6.10 |
2 |
1 |
6.11 |
9 |
-7 |
6.12 |
2 |
6 |
6.13 |
6 |
-5 |
6.14 |
1 |
-6 |
6.15 |
4 |
1 |
6.16 |
2 |
-5 |
6.17 |
4 |
-5 |
6.18 |
3 |
8 |
6.19 |
7 |
5 |
6.20 |
7 |
-6 |
6.21 |
1 |
-3 |
6.22 |
5 |
-7 |
6.23 |
1 |
4 |
6.24 |
7 |
-6 |
6.25 |
2 |
-15 |
6.26 |
7 |
-5 |
6.27 |
-5 |
|
6.28 |
-5 |
2 |
6.29 |
-5 |
|
6.30 |
-5 |
|
Задача 7. Дана кривая в параметрической форме, вычислить ее кривизну в точке и составить уравнение касательной при заданном параметре .
ТАБЛИЦА
№ вар |
Уравнение кривой |
|
7.1 |
|
0 |
7.2 |
|
|
7.3 |
|
|
7.4 |
|
0 |
7.5 |
|
|
7.6 |
|
|
7.7 |
|
|
7.8 |
|
0 |
7.9 |
|
0 |
7.10 |
|
1 |
7.11 |
|
2 |
7.12 |
|
1 |
7.13 |
|
0 |
7.14 |
|
|
7.15 |
|
1 |
7.16 |
|
1 |
7.17 |
|
1 |
7.18 |
|
1 |
7.19 |
|
1 |
7.20 |
|
1 |
7.21 |
|
|
7.22 |
|
1 |
7.23 |
|
0 |
7.24 |
|
|
7.25 |
|
|
7.26 |
|
|
7.27 |
|
0 |
7.28 |
|
|
7.29 |
|
0 |
7.30 |
|
1 |
Задача 8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке .
№ вар |
|
|
|
8.1 |
|
, |
|
8.2 |
|
, |
|
8.3 |
|
, |
|
8.4 |
|
, |
|
8.5 |
|
, |
|
8.6 |
|
, |
|
8.7 |
|
, |
|
8.8 |
|
, |
|
8.9 |
|
, |
|
8.10 |
|
, |
|
8.11 |
|
, |
|
8.12 |
|
, |
|
8.13 |
|
, |
|
8.14 |
|
, |
|
8.15 |
|
, |
|
8.16 |
|
, |
|
8.17 |
|
, |
|
8.18 |
|
, |
|
8.19 |
|
, |
|
8.20 |
|
, |
|
8.21 |
|
, |
|
8.22 |
|
, |
|
8.23 |
|
, |
|
8.24 |
|
, |
|
8.25 |
|
, |
|
8.26 |
|
, |
|
8.27 |
|
, |
|
8.28 |
|
, |
|
8.29 |
|
, |
|
8.30 |
|
, |
|