Описание установки

Рассмотрим установку, изображенную на рис. 3. На валу насажено массивное маховое колесо К и шкив Ш с намотанной нитью. К концу нити подвешен груз m. Опускаясь вниз с высоты h₁ груз m приводит во вращение маховое колесо. При этом потенциальная энергия груза переходит в кинетическую энергию его поступательного движения, кинетическую энергию махового колеса и работу по преодолению силы трения в опорах вала.

(1)

где v-скорость поступательного движения груза;

I- момент инерции колеса, характеризующий инертность при вращательном движении;

ω- угловая скорость махового колеса;

А

₁- работа против сил трения, произведенная во время опускания груза.

Когда груз дойдет до нижней точки, маховое колесо, вращаясь по инерции начинает наматывать нить на шкив, в результате чего груз снова начинает подниматься. Но т. к. существуют силы трения в опорах, то он поднимается на высоту h₂ < h₁. При этом кинетическая энергия вращательного движения колеса и поступательного движения груза перейдет в потенциальную энергию груза и работу против сил трения в опорах вала, т.е.

где А₂ - работа против сил трения, совершаемая при движении груза наверх.

или

(2)

Вычитая из равенства (1) равенство (2) почленно получим:

(3)

т.e. работа по преодолению сил трения равна разности потенциальных энергий груза, но

где ℓ₁; ℓ₂- пути, проходимые трущимися участками вала при движении груза вниз и вверх соответственно, - суммарная сила трения в опорах вала.

Очевидно, что

где r_в -радиус вала,

N₁- число оборотов, которое вал сделал за время опускания груза;

N₂- число оборотов, которое сделал вал за время движения груза наверх.

При этом шкив тоже сделал соответственно N₁ и N₂ оборотов за те же промежутки времени.

Точка на окружности шкива прошла пути:

здесь r_ш - радиус шкива;

h_1; h₂- длина смотанной и намотанной нити равная соответственно высоте опускания и поднимания груза, т.к. нить можно считать упругой и нерастяжимой.

Отсюда:

Подставляя в равенство (3) имеем:

Откуда:

(4)

По этой формуле мы можем вычислить суммарную силу трения в опорах на валу махового колеса.

Момент инерции махового колеса можно определить из следующих рассуждений: на груз при его движении вниз действуют силы тяжести и натяжения нити . Эти силы по второму закону Ньютона сообщают грузу ускоренное движение с ускорением . В проекциях на направление движения из второго закона Ньютона имеем

откуда (5)

Если пренебречь моментом инерции блока (т.к. его масса значительно меньше массы махового колеса и груза), а нить считать упругой и нерастяжимой, то эта же сила натяжения будет приложена к шкиву Ш, создавая вращающий момент.

(6)

Существует противоположно направленный момент, создаваемый силами трения по отношению к валу:

(7)

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения:

Считая направление вращающего момента силы положительным и учитывая, что угол между и , а также и равен имеем

здесь ε - угловое ускорение махового колеса.

Его можно выразить через тангенциальное ускорение точек шкива, считая, что оно равно ускорению груза :

. (8)

Т.к. с ускорением за время груз проходит путь ,то

Подставляя значение а и ε в уравнение (8) и, решая его относительно I с учетом силы трения (4), получим:

(9)