1.3.4. Центр паралельних сил і центр ваги

У підрозділі 1.2.3 введено поняття центра паралельних сил .

Виведемо формулу, за якою можна знайти радіус-вектор цієї точки.

Нехай для довільної системи паралельних сил (рис. 1.37) виконується умова

,

яка свідчить, що система сил зводиться до рівнодійної , на лінії дії якої знаходиться точка – центр паралельних сил. Проводимо – радіус-вектор точки , – радіус-вектор точки прикладання сили , а також – радіус-вектор точки відносно точки . Знайдемо головний момент системи сил відносно точки . На підставі теореми Варіньйона (1.50)

. (1.51)

Рисунок 1.37

Але ця сума дорівнює нулеві, оскільки точка лежить на лінії дії рівнодійної . Враховуючи, що , , з (1.51) маємо

. (1.52)

Розглянемо орт – одиничний вектор напряму системи паралельних сил. Кожну силу подамо у вигляді

(1.53)

і підставимо (1.53) в (1.52):

.

Дістанемо

. (1.54)

Необхідна і достатня умова рівності нулеві векторного добутку (1.54) при будь-якому напрямі вектора (положення точки зберігається при повороті всіх сил разом на однаковий довільний кут) полягає у рівності нулеві виразу у круглих дужках (1.54):

.

Звідси

. (1.55)

Координати центра паралельних сил у прямокутній системі декартових координат з початком у точці :

; ; . (1.56)

Далі розглянемо систему матеріальних точок, відстань між якими значно менша, ніж радіус земної кулі. При цьому сили ваги цих точок можна вважати паралельними силами.

Центром ваги системи матеріальних точок називають центр паралельних сил ваги точок системи.

Його координати знайдемо на підставі (1.56):

; ; . (1.57)

Вагою Р системи називають суму сил ваги окремих точок.

. (1.58)

Якщо треба знайти координати центра ваги неоднорідного твердого тіла (рис. 1.38), то розглядають такі граничні вирази:

; ;

(1.59)

при зменшенні кожного елемента до нуля.

У результаті граничного переходу дістанемо

; ; . (1.60)

Рисунок 1.38

Якщо тіло однорідне, то інтеграли в (1.60) поширюються на об’єм тіла .

Позначаючи через питому вагу тіла, дістанемо ; і далі

; ; , (1.61)

де – елемент об’єму тіла.

Отже, з (1.61) випливає, що центр ваги однорідного тіла збігається з його центром об’єму, тобто не залежить від фізичних властивостей речовини, з якої виготовлене тіло.

Вирази в чисельниках (1.61) іноді називають статичними моментами об’єму відносно координатних площин , , .

Якщо однорідне тіло плоске, тобто має сталу товщину , то

,

де – елемент площі площини симетрії тіла, з якою зв’яжемо координатну площину .

Центр ваги тіла знаходиться в цій площині, тому . Координати і дістанемо з виразів

; , (1.62)

де – площа основи пластини.

Вирази в чисельниках (1.62) називають статичними моментами площі відносно координатних осей і відповідно.

Центр ваги однорідного стержня зі сталою площею поперечного перерізу дістанемо з формул (1.61):

; ; , (1.63)

де ; ; – довжина стержня.

У чисельниках правих частин (1.63) стоять криволінійні інтеграли.

Оскільки положення центра ваги однорідного стержня не залежіть від площі його поперечного перерізу, та формули (1.63) визначають центр ваги лінії.

* Позначення  означають початок і закінчення доведення теореми.

* Знаком “ ” позначається векторний добуток, а крапкою “” – скалярний.