§8. Главные направления

Определение. Направление вектора называется главным относительно ЛВП, если этот вектор перпендикуляры к сопряженному ему вектору.

Возьмем вектор

Так как последняя система имеет бесчисленное множество решений относительно главный определитель равен нулю .

Число решений последнего квадратного уравнения зависит от дискриминанта.

1. Если найдутся два решения . Им будут соответствовать два вектора или два главных направления. Подставляя в получим эти направления.

2. Если

Если подставить в , то для любых выполняется. ЛВП имеет бесчисленное множество главных направлений.

Имеем

уравнение окружности.

Окружность – единственная ЛВП, которая имеет бесчисленное множество главных направлений.

Замечание 1. Для того, чтобы привести уравнение ЛВП к каноническому виду, нужно расположить оси координат так, чтобы они имели главные направления.

Замечание 2. Диаметр ЛВП, который имеет главное направление, называется осью ЛВП.

Задача. Найти главные направления ЛВП, заданной уравнением х² + xy + 2y² – 3x + y = 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение ЛВП и решим его: . Тогда .

2) - вектор главного направления, его можно найти из условия . Считая p₂  0, можно записать

(a₁₁ – ) + a₁₂ = 0. Обозначая = k, получим:

а) и б) .

; ;

; ;

; ;

. . ■

З А К Л Ю Ч Е Н И Е

В работе рассмотрена общая теория кривых второго порядка, которая имеет практическое применение при решение различных задач.

Работа имеет традиционную структуру и включает в себя введение, основную часть, состоящую из 8 параграфов, заключение и используемой литературы.

В курсовой работе введены понятия центра линий второго порядка и диаметра линий второго порядка; рассмотрена классификация линий второго порядка, количество решений в результате пересечения линий второго порядка и прямой, линии эллиптического, гиперболического, параболического направлений и их количество асимптот; проанализировали преобразование общего уравнения линий второго порядка к каноническому виду; рассмотрены различные задачи на приведение уравнения к каноническому виду, нахождение центра кривой, заданной уравнением, нахождение диаметра кривой, поиск направлений линий второго порядка.

Цель работы достигнута, а поставленные задачи работы решены.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. Учебное пособие. –М.:Наука,1990.

2. Бахвалов С.В., Бабушкин Л.И., Иваницкая В.П. Аналитическая геометрия. Учебник для педагогических институтов. – Москва: Просвящение,1965.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Высшая математика. Учебник для ВУЗов. 1 том – Дрофа, 2004.

4. Воеводин В.В. Линейная алгебра.- М.: Наука,1980.

5.  Ильин В.А., Позняк Э.Г., Аналитическая геометрия, гл. 6. М.: "Наука", 1988.

6. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. – МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

 7.  Корн Г., Корн Т. Кривые второго порядка (конические сечения) // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64-69.

8.  Корн Г., Корн Т. 2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64.

9. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. Учебник для вузов.- Наука, 1978.