9. Нелинейное программирование. Постановка задачи нелинейного программирования.

В общем виде задача НП состоит в определении max/min значения f (x₁, x₂, … x_n) (1) при условии, что ее переменные удовлетворяют соотношениям g_i(x₁, x₂, …, x_n)  b_i (i = 1, k) (2) g_i(x₁, x₂, …, x_n) = b_i (i = k + 1, m) (2), где f и g_i некоторые известные функции n переменных, а b_i – заданные числа. Имеется в виду, что в результате решения задачи будет определена точка Х* = (х₁*, х₂*, … х_n*), координаты которой удовлетворяют соотношению (2), причем для всякой другой точки, отвечающей условиям (2), выполняется F* (x*₁, x*₂, … x*_n)  f (x₁, x₂, … x_n) Если f и g_i – линейные функции, то это будет задача линейного программирования. Соотношения (2), образующие систему ограничений, включают в себя и условия неотрицательности переменных, если таковые имеются. Последние могут быть заданы и отдельно. В евклидовом пространстве En система ограничений (2) определяет ОДР. В отличие от задачи ЛП она не всегда является выпуклой. Если определена ОДР, то нахождение решения задачи НП сводится к определению такой точки этой области, через которую проходит гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня: f (x₁, x₂, … x_n) = h, причем эта точка может находиться как на границе ОДР, так и внутри нее.

ений. Структура системы принятия решений.

Под принятием решения понимается выбор одного или нескольких вариантов решения проблемы из некоторого исходного множества вариантов (альтернатив), Это множество будем называть множеством альтернат10. Выбор альтернатив в многокритериальных задачах.

Задача отыскания оптимального решения х*, соответствующего максимуму целевой функции часто оказывается сложной для решения. Метод решения определяется самим характером множества Х (размерностью вектора Х и типом, т.е. является ли множество конечным, континуальным или счетным), а также характером критерия: функционал или функция, какая именно (линейная, нелинейная и т.п.).

Выбор в условиях нескольких критериев. Сложность отыскания наилучшей альтернативы возрастает, когда необходимо рассматривать альтернативы не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между собой. Например, выбор конструкции самолета предполагает учет многих критериев (технических - высота, скорость, маневренность, грузоподъемность), безопасности полетов, технологических, экологических, экономических, эргономических. В обыденной жизни - выбор подарка, выбор места для стоянки в турпоходе.

И так, пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев q_i(x), i= 1,2,3...,р. Теоретически можно представить себе случай, когда во множестве Х окажется одна альтернатива, обладающая наибольшими значениями р всех критериев; она и является наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как осуществлять выбор (например, на рис. 1 множеству Х соответствуют внутренние точки фигуры на плоскости значений двух критериев q₁ и q₂; оба критерия желательно максимизировать).

11. Классификация задач принятия реш ив X, а любое решение из него — альтернативой х: х € Х. Поэтому часто говорят о задаче выбора. Последствием принятия решения назовем событие (исход), на возможность появления которого влияет данное решение. Система предпочтений— совокупность правил, устанавливающих приоритеты при выборе из множества альтернатив. Решение — подмножество множества альтернатив, образованное на основе системы предпочтений. Лицо, принимающее решение (ЛПР) — субъект, задающий приоритеты, в интересах которого принимается решение. Как правило, ЛПР стремится получить наилучшее (оптимальное, удовлетворительное) с его точки зрения решение. Выбор решения зависит от информации, имеющейся у ЛПР о данной предметной области, а также от того, как он устанавливает приоритеты, т.е. от его стиля мышления, стратегии поведения. Например, один любит рисковать, другой чрезмерно осторожничает, третий предпочитает "золотую середину" и т.п. Таким образом, ЛПР обладает некоторой свободой выбора. Однако, если он не будет учитывать особенности решаемой проблемы, то полученное решение может сильно расходиться с реальностью и привести к отрицательным последствиям.

Сановными неформальными элементами СПР являются: формирование множества альтернатив, оценивание альтернатив и выбор оптимальных (в определенном смысле) вариантов решения.

Задачи принятия решений могут различаться типом исхода, структурой предпочтений, количеством оценочных критериев, моделью оптимизации и т.п. В табл. 14 дана классификация задач принятия решений по ряду признаков.

Таблица 14 Классификация задач принятия решения

Классификационный признак	Разновидность задачи принятия решений
Новизна задачи (алгоритм решения наличие аналога)	Задача имеется в базе знаний (есть алгоритм решения): задачи нет в базе знаний, но есть аналоги: задача не имеет аналогов
Tип исхода (информационная среда задачи, уровень информации)	Детерминированный исход (в условиях определенности); случайный исход (в условиях риска, в условиях неопределенности); нечеткий исход (в условиях нечеткости)
Вид проблемной ситуации	Необходимость решения новой задачи; изменение условий функционирования системы; появление новой информации; сбой в работе (отказ) системы или ее элементов
Метод описания и представления информации	Декларативный; процедурный; комбинированный (сочетание нескольких методов)
Метод поиска решений	Полный перебор; имплицитный перебор; эвристический поиск
Число критериев	Однокритериальная: многокритериальная
Тип критериальной оценки решения	Точечная; интервальная; нечеткая; статистическая
Область применения решения	Управление; прогнозирование; измерение; контроль; диагностирование: проектирование; классификация