- •Составители: доц. Валерий Леонидович Шур
- •§1. Числовые ряды
- •§2. Признаки сходимости числовых рядов
- •§3. Знакопеременные ряды
- •§4. Степенные ряды
- •§5. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов и к решению дифференциальных уравнений
- •§6. Ряды Фурье
- •Индивидуальные домашние задания
- •Библиографический список
§6. Ряды Фурье
Тригонометрический ряд
,
коэффициенты которого определяются через функцию по формулам
,
,
называется тригонометрическим рядом Фурье функции , а коэффициенты , определяемые по этим формулам, называются коэффициентами Фурье функции .
Функция , определенная на отрезке , где , называется четной, если
для всех .
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция , определенная на отрезке , где , называется нечетной, если для всех .
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Если функция четна на отрезке и имеет период , то для всех
Коэффициенты Фурье четной функции будут равны
Следовательно, ряд Фурье четной функции имеет вид .
Если функция нечетна на отрезке и имеет период 2, то для всех
Коэффициенты Фурье нечетной функции будут равны
Следовательно, ряд Фурье нечетной функции имеет вид .
Функция называется кусочно монотонной на , если этот отрезок разбивается на конечное число сегментов, в каждом из которых функция монотонна.
Если функция монотонна на , то в любой внутренней точке этого отрезка существуют правые и левые пределы ее значений, то есть пределы
Теорема Дирихле. Если функция задана на сегменте и является на нем кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной, то ее тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках сегмента .
Если — сумма тригонометрического ряда Фурье функции , то во всех точках непрерывности этой функции
,
а во всех точках разрыва
.
Кроме того,
.
Пример 6.1. Для функции , вычислить коэффициенты Фурье и записать тригонометрический ряд. Проверить условия теоремы Дирихле.
Решение. Вычислим коэффициенты тригонометрического ряда:
функция нечетная и период .
Таким образом, ,
,
при
Функция непрерывна и имеет два экстремума на заданном периоде. Условия теоремы Дирихле выполнены.
Индивидуальные домашние задания
Задача №1. Найдите сумму ряда, пользуясь определением.
1. |
; |
2. |
; |
3. |
; |
4. |
; |
5. |
; |
6. |
; |
7. |
; |
8. |
; |
9. |
; |
10. |
; |
11. |
; |
12. |
; |
13. |
; |
14. |
; |
15. |
; |
16. |
; |
17. |
; |
18. |
; |
19. |
; |
20. |
; |
21. |
; |
22. |
; |
23. |
; |
24. |
; |
25. |
; |
26. |
; |
27. |
; |
28. |
; |
29. |
; |
30. |
. |
Задача №2. Установите вид сходимости или расходимости данных рядов. Укажите признак.
1. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
2. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) . |
3. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) . |
4. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
5. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) . |
6. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) . |
7. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
8. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
9. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
10. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
11. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
12. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
13. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
14. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
15. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) . |
16. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
17. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
18. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
19. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
20. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
21. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
22. |
a) b) ; c) d) ; e) .
|
23. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
24. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
25. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
26. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
27. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
28. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
29. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
30. |
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
|
Задача №3. Найдите область сходимости данного ряда.
1. |
; |
2. |
; |
3. |
; |
4. |
; |
5. |
; |
6. |
; |
7. |
; |
8. |
; |
9. |
; |
10. |
; |
11. |
; |
12. |
; |
13. |
; |
14. |
; |
15. |
; |
16. |
; |
17. |
; |
18. |
; |
19. |
; |
20. |
; |
21. |
; |
22. |
; |
23. |
; |
24. |
; |
25. |
; |
26. |
; |
27. |
; |
28. |
; |
29. |
; |
30. |
. |
Задача №4. Разложите функцию в ряд Тейлора, в ряд Маклорена по степеням .
1. |
; |
|
2. |
; |
0. |
3. |
; |
. |
4. |
; |
|
5. |
; |
|
6. |
; |
-2. |
7. |
; |
4. |
8. |
; |
. |
9. |
; |
|
10. |
; |
2. |
11. |
; |
. |
12. |
; |
1. |
13. |
; |
. |
14. |
; |
|
15. |
; |
-1. |
16. |
; |
|
17. |
; |
-1. |
18. |
; |
|
19. |
; |
|
20. |
; |
|
21. |
; |
|
22. |
; |
1. |
23. |
; |
|
24. |
; |
|
25. |
; |
|
26. |
; |
1 |
27. |
; |
|
28. |
; |
|
29. |
; |
|
30. |
; |
|
Задача №5. Вычислите данный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд, взяв три члена разложения, и оцените погрешность полученного результата.
1. |
; |
2. |
; |
3. |
; |
4. |
; |
5. |
; |
6. |
; |
7. |
; |
8. |
; |
9. |
; |
10. |
; |
11. |
; |
12. |
; |
13. |
; |
14. |
; |
15. |
; |
16. |
; |
17. |
; |
18. |
; |
19. |
; |
20. |
; |
21. |
|
22. |
|
23. |
; |
24. |
; |
25. |
|
26. |
; |
27. |
; |
28. |
; |
29. |
; |
30. |
. |
Задача №6. Найдите пять первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям.
1. |
; |
, |
. |
2. |
; |
, |
. |
3. |
; |
. |
|
4. |
; |
, |
. |
5. |
; |
, |
. |
6. |
; |
, |
. |
7. |
; |
, |
. |
8. |
; |
. |
|
9. |
; |
. |
|
10. |
; |
, |
. |
11. |
; |
, |
. |
12. |
; |
. |
|
13. |
; |
. |
|
14. |
; |
, |
. |
15. |
; |
. |
|
16. |
; |
, |
. |
17. |
; |
. |
|
18. |
; |
. |
|
19. |
; |
. |
|
20. |
; |
. |
|
21. |
; |
, |
. |
22. |
; |
, |
. |
23. |
; |
, |
|
24. |
; |
, |
. |
25. |
; |
, |
. |
26. |
; |
, |
. |
27. |
; |
, |
. |
28. |
; |
, |
. |
29. |
; |
, |
. |
30. |
; |
, |
. |
Задача №7. Для функции на заданном интервале:
1) вычислите коэффициенты Фурье и запишите тригонометрический ряд;
2) проверьте условия Дирихле.
-
1. а)
b)
2. а)
b)
3. а)
b)
4. а)
b)
5. а)
b)
6. а)
b)
7. а)
b)
8. а)
b)
9. а)
b)
10. а)
b)
11. а)
b)
12. а)
b)
13. а)
b)
14. а)
b)
15. а)
b)
16. а)
b)
17. а)
b)
18. а)
b)
19. а)
b)
20. а)
b)
21. а)
b)
22. а)
b)
23. а)
b)
24. а)
b)
25. а)
b)
26. а)
b)
27. а)
b)
28. а)
b)
29. а)
b)
30. а)
b)