3. Точечные оценки для моментов

Числовые параметры теоретического распределения (математическое ожидание и дисперсия) неизвестны. Оценки для параметров распределения находятся по выборке. Математическое ожидание является начальным моментом первого порядка, а дисперсия – центральным моментом второго порядка.

Оценки параметров распределения бывают точечными и интервальными. Оценка параметра α называется точечной, если она указывает значение неизвестного параметра на числовой оси. Точечная оценка зависит от наблюдаемых значений и является случайной величиной.

Чтобы точечная оценка имела практическую ценность, она должна быть:

1. несмещенной, т.е. математическое ожидание оценки должно равняться значению параметра;

2. состоятельной, т.е. должна при увеличении объема выборки сходиться по вероятности к оцениваемому параметру;

3. эффективной, т.е. должна иметь минимальную дисперсию из всех точечных оценок.

Первые два требования к оценке являются фактически обязательными, выполнение последнего – желательно.

Несмещенной, состоятельной и (для нормального распределения) эффективной оценкой математического ожидания является среднее выборочное значение

.

Для выборки из табл. 4 (практическая работа 1, вариант 0) получаем оценку математического ожидания:

=(1,8 + 2 + 3,3 + 2,6 + 1,3 – 4 + 0,5 + 0,7 – 0,7 + 5,1 + 5,7 + 2)/12= 1,69.

Несмещенной оценкой дисперсии при неизвестном математическом ожидании является величина

,

использующая оценку математического ожидания m по выборке.

При известном математическом ожидании несмещенной оценкой дисперсии будет

.

Обе оценки дисперсии являются состоятельными.

Для данных из рассматриваемого варианта получаем оценки дисперсии , (учитывая, что m=1,5), а также среднеквадратичные отклонения и .

4. Доверительные интервалы для моментов. Доверительная вероятность

Кроме точечных оценок моментов распределения существуют также интервальные оценки. Доверительным интервалом называется некоторый интервал возможных значений оцениваемого параметра, границы которого являются функцией выборки. Вероятность того, что этот интервал «накроет» оцениваемый параметр, не зависит от истинного значения параметра и называется доверительной вероятностью (надежностью).

Пусть есть несмещенная точечная оценка неизвестного параметра α. Вероятность того, что интервал заключает в себе неизвестный параметр α, равна β и называется доверительной вероятностью. Интервал называется (симметричным) доверительным интервалом (с уровнем доверия β). Иначе это записывается в виде

или .

В пособии рассмотрены четыре задачи нахождения доверительных интервалов для параметров нормального распределения (для математического ожидания и дисперсии при известном и неизвестном втором параметре). Построить доверительный интервал для параметра α означает найти величину ε. В зависимости от учебного плана часть этих задач может исключаться из задания.

Доверительные интервалы для математического ожидания

Предположим, что случайная величина подчинена нормальному распределению с параметрами m и σ.

Случай 1. Дисперсия известна.

Доверительная вероятность для математического ожидания при известном σ вычисляется по формуле

, где есть функция Лапласа.

Значение представляет собой аргумент, при котором функция Лапласа равна требуемой доверительной вероятности β, и находится по таблице нормального распределения. Половина ширины доверительного интервала . Сам же доверительный интервал будет .

В задании 3 практической работы 1 требуется найти доверительный интервал для математического ожидания при известном значении σ =2,5 и доверительной вероятности β = 0,9.

В таблице для функции Лапласа (приложение 1) находим аргумент x, при котором функция равна требуемой доверительной вероятности β = 0,9. Соответствующее значение . Отсюда и, используя ранее вычисленное , получаем доверительный интервал .

Рассмотренный случай нахождения доверительного интервала является наиболее простым.

Случай 2. Дисперсия неизвестна.

При неизвестном значении σ доверительный интервал для математического ожидания строится иначе. Используется оценка вместо σ, а также распределение Стьюдента вместо нормального. В силу центральной предельной теоремы при достаточно больших объемах выборки можно использовать указанные интервальные оценки и для случайной величины с неизвестным законом распределения. Более того, нормальное распределение можно использовать и при неизвестном σ, так как распределение Стьюдента стремится к нормальному при больших n.

В случае, когда σ неизвестно, нужно рассматривать величину , где .

Случайная величина t распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы . Вероятности при различных значениях и числа степеней свободы можно найти в таблицах (приложение 3). Доверительный интервал задается в виде , где .

Следует иметь в виду, что часто табулируется не величина , а величина . В этом случае можно пересчитать одну в другую через соотношение . Тогда по доверительной вероятности β пороговое значение находится как .

Для задания из варианта 0 (таблица 4) находим соответствующее доверительной вероятности 0,9 и числу степеней свободы значение . Предварительно сделан пересчет для использования таблицы. Вспоминая, что , находим , откуда получаем доверительный интервал (0,37; 3,02).

Стоит заметить, что доверительный интервал получился шире, чем в случае известной дисперсии, что вполне естественно при меньшем количестве информации.

Доверительные интервалы для дисперсии

Случай 3. Математическое ожидание известно.

При построении доверительного интервала для дисперсии (стандартного отклонения) в случае известного математического ожидания рассматривается случайная величина , где .

Величина w имеет распределение с k = n степенями свободы.

Введем функцию .

Искомый доверительный интервал задается как , где , , а a и b находятся по таблице распределения - квадрат (приложение 4) как , .

Для данных из варианта 0 (таблица 4), учитывая, что m = 1,5 и , получаем:

,

,

, .

Искомый доверительный интервал .

Случай 4. Математическое ожидание неизвестно.

При построении доверительного интервала для дисперсии в случае неизвестного математического ожидания рассматривается случайная величина , где .

Величина s имеет распределение с k = n – 1 степенями свободы.

Искомый доверительный интервал задается как , где , , а a и b находятся по таблице распределения - квадрат как , .

Для данных из варианта 0 (табл. 4), учитывая, что , получаем:

,

,

, .

Искомый доверительный интервал (1,91; 3,97).

Построение доверительных интервалов для оцениваемых параметров других распределений изложено в литературе.