Импульсные методы определения теплофизических характеристик

Закономерности развития нестационарных температурных полей, создаваемых действием мгновенных точечных, линейных или плоских источников тепла в неограниченном теле, явились основой для создания импульсных методов комплексного определения теплофизических характеристик различных материалов.

Общее решение дифференциального уравнения теплопроводности для случая действия мгновенного точечного источника тепла в точке (x₁, y₁, z₁) неограниченного тела удовлетворяет функции

(41)

где Q — количество тепла, выделяемое в точке (x₁, y₁, z₁) неограниченного тела в момент времени  = t ( > t). Очевидно, что должно выполняться равенство

(42)

так как

(43)

Если проинтегрировать выражение (41) по соответствующим координатам, то можно получить решения для мгновенных линейных, плоских, сферических или цилиндрических поверхностных источников тепла, действующих в неограниченной среде.

Выражение для двумерного температурного поля ₁(x, y, ), создаваемого линейным мгновенным источником тепла Q₁, Дж/м, действующим в момент времени  = t на прямой, параллельной оси z и проходящей через точку (x₁, y₁), получается интегрированием выражения (8-1) по dz₁ в пределах от – до +, т. е.

(44)

Здесь Q₁ — количество тепла, мгновенно выделяемого единицей длины линейного источника тепла в момент времени  = t.

Если проинтегрировать выражение (44) по dy₁ в пределах от – до +, то получается решение одномерного уравнения теплопроводности для функции ₂(x, ) в случае действия мгновенного плоского источника тепла Q₂, Дж/м², в плоскости x = x₁:

(45)

Здесь Q₂ — количество тепла, мгновенно выделяемое единицей площади плоского источника тепла в момент времени  = t.

Если проинтегрировать выражение (45) для мгновенного плоского источника тепла по dt в пределах от нуля до , то получится решение для темпе­ратуры ₂(x, ) неограниченного тела в случае действия в плоскости x = x₁ постоянного поверхностного источника тепла удельной мощности q₂ = Q₂/, Вт/м²:

(46)

Это выражение аналогично решению для полуограниченного тела при граничном условии второго рода, но q₂ = 2q.

МЕТОД ИМПУЛЬСНОГО ЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА

Данный метод определения теплофизических характеристик основывается на решении двумерного уравнения теплопроводности для неограниченного тела в случае действия в нем в течение времени ₀ линейного источника тепла. Это решение получается интегрированием выражения (44) по dt в пределах от нуля до ₀.

Решение запишем для точки, находящейся на расстоянии от линейного источника, проходящего через точку (x₁ = y₁ = 0).

Значение максимума избыточной температуры T_маке = T(r₀, _макс) – T₀ в рассматри­ваемой точке r₀ будет соответствовать определенному моменту времени  = _макс, т. е.

(47)

Если продифференцировать выражение (47) по _макс и приравнять производную d(T_макс)/d_маке нулю, то получим соотношение, при котором должно выполняться условие экстремума функции T = f() в данной точке r₀ неограниченного тела, т. е.

(48)

Решение уравнений (47) и (48) дает следующие расчетные соотношения для коэффициентов тепло- и температуропроводности:

,

где

или (49)

Значения величин _a и _ однозначно зависят от аргумента ₀ = ₀/_макс, который может принимать значения от нуля до единицы. Связь между этими величинами следующая:

(50)

(51)

Если иметь в виду уравнение связи  = ac, то нетрудно написать формулу для расчета объемной теплоемкости:

(52)

где _c = _/_a.

Значения величин _a и _ в зависимости от ₀ имеются в справочной литературе. Значение q_L рассчитывают, зная длину источника и подводимую мощность.

Если необходимо определить только значение коэффициента теплопроводности неограниченного тела, то метод импульсного линейного источника тепла позволяет реализовать упрощенную методику расчета .

Из выражения (47) для точек r₀ = 0, расположенных на линии действия кратковре­менного источника тепла в момент времени ₁ > ₀, избыточная температура T = T_н запишется так:

(53)

откуда

(54)

В этом случае для расчета коэффициента теплопроводности необходимо иметь линейный источник тепла, который одновременно будет являться и датчиком температуры.

МЕТОД ИМПУЛЬСНОГО ПЛОСКОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА

Данный метод определения теплофизических характеристик основывается на решении одномерного уравнения теплопроводности для неограниченного тела в случае действия в нем в течение небольшого промежутка времени ₀ плоского источника тепла. Это решение можно получить интегрированием выражения (45) по dt в пределах от нуля до ₀. Если плоскость действия источника совпадает с плоскостью yz и проходит через точку x₁ = 0, то значение максимума избыточной температуры T_макс = T(x, _макс) – T₀ на расстоянии x от нагревателя будет соответствовать определенному моменту времени

(55)

Если продифференцировать выражение (8-20) по _макс и приравнять производную d(T_макс)/d_макс нулю, получим условие экстремума зависимости избыточной температуры от времени в точке x неограниченного тела, т. е.

(56)

Уравнения (55) и (56) позволяют получить следующие расчетные формулы для теплофизических характеристик:

или

где (57)

или (58)

(59)

Зависимость _a от параметра ₀ = ₀/_макс определяется выражением (50). Значение _ определяется следующим интегралом:

(60)

и рассчитывается по формуле

(61)

где

Значения величины _ в зависимости от ₀ приведены в справочной литературе.