2. Основы теории

   1. . Физическая модель полета ла

Траектория полета ракеты представляет собой сложную кривую. Для упрощения расчетов не будем учитывать влияние кривизны и вращения Земли на движение ЛА, а также примем, что движение происходит без колебаний вокруг продольной оси ракеты. Траектория полета делится на два участка: активный (с работающим двигателем) и пассивный (с неработающим двигателем).

С учетом принятых допущений центр масс ракеты будет совершать поступательное движение под действием сил, действующих в одной плоскости: Р – силы тяги, Х – силы лобового сопротивления, G – силы тяжести. На рис. 1 показана система сил, приложенных к центру масс ракеты на траектории в произвольный момент времени.

Рис. 1. Схема сил, действующих на центр масс ЛА

ЛА запускается с земли (x₀,y₀)=(0,0) под углом θ=θ₀ к горизонту со скоростью V=V₀. Изменением ускорения свободного падения по высоте пренебрегаем (g=const), тягу принимаем постоянной в течение всего времени активного участка (t_a), расход массы определяется соотношением m_t /t_a, где m_t – масса топлива.

Методика расчета траектории базируется на основном законе механики (втором законе Ньютона), связывающем ускорение, испытываемое точкой массой m под действием силы F:

.

Если на тело действует несколько сил, то – равнодействующая сила:

2. . Математическая модель траектории полета ла

В соответствие с принятой физической моделью в основе математической модели, описывающей траекторию полета неуправляемого ЛА, лежит система уравнений, описывающих движение тела переменной массы, брошенного под углом к горизонту.

(1)

где – масса ЛА;

– координаты центра масс ЛА на траектории;

– коэффициент аэродинамического сопротивления;

– плотность воздуха;

– площадь миделя (площадь поперечного сечения ЛА);

– стартовая масса ЛА.

Дифференциальные уравнения второго порядка в рассмотренной системе (1) могут быть заменены на дифференциальные уравнения первого порядка, заменив и .

(2)

3. . Численная модель траектории полета ла

Полученную систему дифференциальных уравнений первого порядка c заданными начальными условиями можно решить различными способами.

Одним из наиболее распространенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений является метод конечных разностей (МКР). Рассмотрим применение МКР для численного решения на ЭВМ простейшего дифференциального уравнения первого порядка:

с начальными условиями X₀ , Y(X₀) = Y₀.

Решение будем искать в интервале [X₀ ,b] и будем полагать, что функция на данном интервале удовлетворяет условиям гладкости.

Разобьем область аргумента Х на множество отрезков длиной ΔX и разложим функцию Y в ряд Тейлора в окрестности произвольной точки X_i из области существования функции:

. Отбрасывая члены ряда, содержащие производные второго и высшего порядков, получаем конечно-разностное выражение первой производной

.

Отсюда

Вычисляя последовательно от начального значения Y₀ значения Y₁, Y₂, Y₃, ... по данной формуле, находим искомое решение.

На рис. 2 показана форма численного решения, получаемого с помощью таких вычислений

Рис.2. Схема приближенного решения методом Эйлера

  Данный метод решения обыкновенного дифференциального уравнения носит название метода Эйлера. При достаточно малых величинах шага . Метод Эйлера дает решение с большой точностью, так как погрешность близка к 0( ) на каждом шаге процесса.

Для решения системы уравнений (2) методом Эйлера запишем ее в конечно-разностном виде:

,

где i – номер текущего шага по времени.

Выразим в этих уравнениях в явном виде

. (3)

Решая систему уравнений (3) на каждом шаге по времени, можно последовательно вычислить все точки траектории полета ЛА.