- •1. Структура теоретической механики. Основы статики.
- •2. Условие равновесия произвольной системы сил.
- •3. Уравнения равновесия твердого тела.
- •4. Плоская система сил.
- •5. Частные случаи равновесия твердого тела.
- •6. Задача о равновесии бруса.
- •7. Определение внутренних усилий в стержневых конструкциях.
- •8. Основы кинематики точки.
- •Кинематика точки. Декартовы координаты.
- •9. Естественные координаты.
- •10. Формула Эйлера.
- •11. Распределение ускорений точек твердого тела.
- •12. Поступательное и вращательное движения.
- •13. Плоскопараллельное движение.
- •14. Сложное движение точки.
- •15. Основы динамики точки.
- •Законы Ньютона. Правило сложения сил.
- •16. Дифференциальные уравнения динамики точки.
- •17. Частные виды силовых полей.
- •18. Основы динамики системы точек.
- •19. Общие теоремы динамики системы точек.
- •20. Динамика вращательного движения точки.
17. Частные виды силовых полей.
1) Сила зависит только от времени – поле однородно, но не стационарно.
.
Тогда:
;
.
Аналогично, для y и z.
2) Проекции силы зависят только от соответствующих координат.
.
Умножая на dx и интегрируя:
.
Дифференцируем снова для проверки:
; .
Положим:
.
Тогда:
(знак берётся из начальных условий).
Разделяя переменные:
.
3) Проекция силы зависит лишь от проекции скорости на эту же ось.
.
Обозначая:
.
Разделяя переменные:
.
Таким образом, в каждом из трёх частных случаев силовых полей по заданным силе, массе и начальным условиям определены выражения для скорости и ускорения точки.
Контрольные вопросы:
1. В чём суть метода разделения переменных при решении дифференциальных уравнений?
2. В чём особенность интегрирования уравнения движения точки, если сила зависит только от координаты?
3. В каких реальных задачах сила зависит от скорости движения точки?
18. Основы динамики системы точек.
Рассмотрим движение n свободных материальных точек относительно инерциальной системы отсчёта (рис. 53).
Рис.53.
- масса точки .
Масса всей системы:
.
Центром масс системы назовём точку С, радиус – вектор которой равен
,
где .
Основные меры движения системы материальных точек:
1. Суммарное количество движения системы (геометрическая сумма количества движения материальных точек).
, где - скорость точки .
Рассмотрим систему точек с постоянными массами => дифференцируя :
;
где - скорость центра масс.
Итак,
Количество движения системы материальных точек равно количеству движения массы всей системы, сосредоточенной в центре масс.
2. Сумма моментов количества движения или кинетический момент системы:
.
представляется в виде одночлена только в случае одинаковых скоростей всех точек системы.
3. Кинетическая энергия системы:
Тоже не всегда представлена в одночленной форме.
Силы разделим на внешние и внутренние.
Внешние силы действуют со стороны масс, не входящих в систему.
Внутренние силы – силы взаимодействия между точками системы.
Обозначим:
- суммарная внешняя сила к точке
- суммарная сила взаимодействия точки c остальными точками системы.
Деление на внутренние и внешние силы условно.
Получим некоторые свойства внутренних сил.
Рис.54.
Рассмотрим точки и (рис. 54).
Из 3 – го закона Ньютона:
.
Внутренняя сила на точку :
.
Очевидно:
.
Итак, сумма внутренних сил и сумма моментов внутренних сил равны нулю относительно любой точки и любой оси.
Рассмотрим сумму элементарных работ внутренних сил.
Пусть , где ,
- расстояние между точками .
Работа на элементарных действительных перемещениях сил взаимодействия двух точек :
.
[ - проекция на , включающая в себя знак].
Обозначим сумму элементарных работ внутренних сил :
(d – означает «на элементарных перемещениях»)
Контрольные вопросы:
1. Что называется центром масс системы материальных точек?
2. Назовите основные меры движения системы материальных точек.
3. Перечислите свойства внутренних сил системы точек?