- •Билет №1
- •1.Функция двух переменных. Определение. Примеры функций. Предел и непрерывность функции. Теоремы о свойствах непрерывных функций. (сформулировать)
- •Билет №2
- •1.Частные производные. Определение. Формулы и правила для их вычисления.
- •Билет №3
- •1.Дифференциируемость и дифференциал функции двух переменных. Необходимые условия дифференцируемости. (Доказать)
- •Билет №4
- •1.Теорема о достаточных условиях дифференцируемости функции двух переменных. (Доказать)
- •Билет №5
- •1.Производные от сложных функций двух переменных (доказать формулы). Полная производная.
- •Билет №6
- •1.Производные второго порядка и дифференциал второго порядка функции двух переменных.
- •Билет №7
- •1.Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума (доказать). Достаточные условия экстремума. (Сформулировать)
- •Билет №8
- •1.Скалярное поле. Производная по направлению: определение, формула для вычисления (доказать). Градиент: определение, его связь с производной по направлению (доказать формулу).
- •Билет №9
- •1.Неявная функция. Определение, примеры. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции (сформулировать).
- •Билет №10
- •1.Первообразная и неопределенный интеграл (определения). Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
- •Билет №11
- •1.Непосредственное интегрирование. Теорема об инвариантности формул интегрирования (доказать). Подведение под знак дифференциала.
- •Билет №12
- •1.Интегрирование методом замены переменной (доказать формулу). Интегрирование по частям.
- •Билет №13
- •1.Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •Билет №14
- •Билет №15
- •1.Определенный интеграл. Определение, геометрический смысл.
- •Билет №16
- •1.Свойства определенного интеграла (перечислить, теорему о среднем доказать).
- •Билет №17
- •1.Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Определение. Теорема об его производной (доказать). Формула Ньютона-Лейбница (доказать).
- •Билет №18
- •1.Замена переменной в определенном интеграле (доказать формулу). Интегрирование по частям.
- •Билет №19
- •Билет №20
- •Билет №21
- •1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Определение, их решение.
- •Билет №22
- •1.Дифференциальные уравнения первого порядка с однородными функциями. Определение, их решения.
- •Билет №23
- •1.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение методом вариации произвольного постоянного.
- •Билет №24
- •1.Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Билет №25
- •Билет №26
- •1.Понятие о линейной независимости функций. Определитель Вронского для функций. Теорема о необходимом условии линейной зависимости двух функций (доказать).
- •Билет №27
- •1.Необходмое и достаточное условие линейной независимости двух решений однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.
- •Билет №28
- •Билет №29
- •1.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Построение их общего решения в зависимости от корней их характеристического уравнения.
- •Билет №30
- •1.Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-ого порядка. Теорема об общем решении (доказать). Теорема о частном решении, если правая часть уравнения есть сумма двух функций.
- •Билет №31
- •1.Способ неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.
Билет №8
1.Скалярное поле. Производная по направлению: определение, формула для вычисления (доказать). Градиент: определение, его связь с производной по направлению (доказать формулу).
Пусть ф-ия U=f(x,y,z) задана в некоторой пространственной обл V. (x,y,z) V. В этом случае задано скалярное поле в обл V.
Пример: Если в каждой точке некоторого объема известно давление газа, задано поле давления газа.
Производная по направлению: в обл V задано скалярное поле. Пусть М0(х0,у0,z0) V.М1(х0+Δх,у0+Δу,z0+Δz).
ΔS= = , ΔU=U(M1)-U(M0)
Опред: если сущ-ет lim отношения: , то он называется производной по направлению ф-ии U в т.S по направлению ΔS.
δU/δS>0, то U↑ в т. M0,
δU/δS<0, то U↓ в т. M0.
Градиент: в обл V задано скалярное поле и в каждой точке поля определен вектор U=δU/δx +δU/δy +δU/δz (частные производные в данной точке)
Теорема: δU/δS=пр. U= cosφ (φ=(. , U)), ф-ия дифференцируема в обл V.
1.Производная по направлению в данной точке есть:
δU/δS= δU/δx cosα+δU/δy cosβ+δU/δz cosγ (1)
(αβγ)-углы с осями координат
т.к. U(x,y,z) дифференцируема в обл V, то ее приращение можно записать:
ΔU= δU/δxΔх+δU/δyΔу+δU/δzΔz+о(ΔS) (2)
Поделим левую,правую части на ΔS:
ΔU/ΔS= δU/δx Δх/ΔS +δU/δy Δу/ΔS+δU/δz Δz/ΔS+о(ΔS)/ΔS (3)
Δх/ΔS=cosα, Δу/ΔS=cosβ, Δz/ΔScosγ – направляющие косинусы вектора
В равенстве (3) переходим к пределу при ΔS→0.
δU/δS|М0= δU/δx|М0cosα+δU/δy|М0cosβ+δU/δz|М0cosγ
Док-во:
(орт-вектора S)=
Подсчитаем скалярное произведение:
U = δU/δx cosα+δU/δy cosβ+δU/δz cosγ – производная по направлению в данной точке δU/δS|М0.
U = cosφ= cosφ= пр. U (4),чтд
Из формулы (4): δU/δS= пр. U= cosφ (5)
Следствие из теоремы: cosφ=1, δU/δS= -самое большое значение (φ=0)
Билет №9
1.Неявная функция. Определение, примеры. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции (сформулировать).
Ф-ия у=f(x) называется неявной,если она задана с помощью ур-я F(x,y)=0, не разрешенного относительно у.
Пример: F(x,y)=х2+у2-1
Теорема о существовании и дифференцируемости неявной ф-ии: Пусть F(x,y), (x,y) U(х0,у0) и выполняются условия:
1. F(x,y), F’x, F’у-непрерывны в U(х0,у0)
2. F(х0,у0)=0
3. F’у(х0,у0)≠0
Тогда: прямоугольная окрестность (х0,у0).
П(х0,у0)= , в которой F(x,y)=0 определяет у=f(x), х (х0-δ,х0+δ). Эта ф-ия непрерывна и имеет непрерывную производную y’=f’(x)= -F’x/F’у, х (х0-δ,х0+δ).
Билет №10
1.Первообразная и неопределенный интеграл (определения). Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
Опред1: ф-ия F(x) называется первообразной для f(x) на Х, если сущ-ет F’(x),х Х и F’(x)=f(x).
Опред2: совокупность всех первообразных ф-ий для данной ф-ии f(x),х Х называется неопределенным интегралом от ф-ии f(x) и обозначается =F(x)+C, F’(x)=f(x).
Интегрирование – отыскание для f(x) всех первообразных.
Основные св-ва неопределенного интеграла:
1.( )’=(F(x)+C)’=F’(x)=f(x)
2.d( )=d(F(x)+C)=dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx
3. = =F(x)+C
Св-ва линейности:
1. = ±
2. =k
Таблица основных интегралов:
1. =C
2. =x+C
3. =xn+1/n+1+C
4. =ln|x|+C
5. =ax/lna+C
5’. =ex+C
6. =-cosx+C
7. =sinx+C
8. =tgx+C
9. =-ctgx+C
10. =arcsinx+C
10’. =arcsin x/a+C
11. =arctgx+C
11’. =1/a arctg x/a+C
12. =ln|x+ |+C
13. =1/2a ln +C