1) Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Уравнение касательной плоскости к прямому геликоиду в точке имеет вид …
2) Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Длина дуги кривой при равна
Решение:
Длина дуги кривой вычисляется по формуле где дифференциал дуги. Вычислив получаем .
3) Тема: Основные понятия топологии
Внешностью множества в топологическом пространстве с топологией является пустое множество
Решение: Внешность M – это совокупность всех внутренних точек дополнения к множеству M, то есть входящих в дополнение к M с какой-либо своей окрестностью (открытым множеством). Дополнением является множество – закрытое множество, которое не содержит в себе ни одного открытого множества из данной топологии. Таким образом, внешностью множества в данном случае будет пустое множество.
4) Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты
кривой 
имеют
вид 
и 
Тема:
Дифференциальная геометрия
поверхностей
Уравнение
касательной плоскости к эллиптическому
параболоиду 
в
точке 
имеет
вид …
|
|
|
|
Решение:
Для
функции вида 
уравнение
касательной плоскости имеет вид
Найдем
частные производные функции 
:
Тогда
уравнение касательной плоскости примет
вид: 
Получим 
Тема:
Дифференциальная геометрия кривых
Траектория
движущейся точки задается уравнением
Тогда
значение нормального ускорения в
момент
равно
…
Решение:
Нормальное
ускорение на параметрически заданной
кривой вычисляется как 
Вычислим
производные первого и второго
порядка.
Найдём 
Тогда
при
Тема:
Основные понятия топологии
Внешностью
множества 
в
топологическом пространстве
с
топологией
является
…
Решение: Внешность – это совокупность всех внутренних точек дополнения к множеству , то есть входящих в дополнение к с какой-либо своей окрестностью (открытым множеством). Таким образом, внешностью множества в данном случае будет
Тема:
Асимптоты кривой
Уравнение
асимптоты кривой, заданной в полярной
системе координат 
,
имеет вид …
Решение:
Из
условия существования асимптоты
кривой 
получаем
что 
.
Так как 
, 
то
уравнение асимптоты имеет вид: 
Тема:
Дифференциальная геометрия кривых
Уравнение
касательной к циклоиде 
в
точке 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
В
точке
.
Найдем производные: 
Тогда 
Подставляя
полученные данные в уравнение
касательной 
,
получим
или 
Тема:
Дифференциальная геометрия
поверхностей
Вектор
нормали
к
поверхности гиперболического
параболоида 
в
точке 
имеет
координаты …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Координаты
вектора нормали
в
точке 
к
поверхности, заданной явно в виде
,
вычисляются по формуле 
.
Вычислим частные производные функции 
в
точке
: 
; 
.
Тогда
вектор нормали в точке
будет
равен: 
Тема:
Дифференциальная геометрия
кривых
Кривая 
задана
в полярных координатах: 
.
Тогда длина дуги при 
,
равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Так
как дифференциал дуги 
,
то длина дуги вычисляется как:
Тема: Асимптоты кривой Асимптоты графика кривой , заданной в полярных координатах, имеют вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Из
условия существования асимптоты
кривой
получаем
что 
.Так
как 
,
и 
, 
, 
, 
.
То
есть 
Тогда
график имеет две асимптоты: 
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Представим
неявно заданную кривую в виде функции 
.
Так
как уравнение нормали кривой, заданной
неявно, имеет вид 
,
вычислим частные производные
функции 
:
Их
значения в точке
равны:
Тогда,
подставляя полученные данные в уравнение
нормали, получим
или
Тема:
Асимптоты кривой
Кривая
на плоскости задана уравнениями в
параметрической форме:
, 
.
Тогда
количество асимптот кривой равно …
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
Решение:
Из
условия существования горизонтальных
асимптот:
, 
,
и 
, 
,
следует, что
–
горизонтальная асимптота.
Из условия
существования вертикальных
асимптот: 
, 
следует,
что, так как нет таких 
,
то вертикальные асимптоты отсутствуют.
Из
условия существования наклонных асимптот
имеем:
,
То
есть 
–
наклонная асимптота. Всего асимптот
две.
Тема:
Дифференциальная геометрия
поверхностей
Первая
квадратичная форма поверхности 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Параметризуем
сферу
:
Запишем
ее в виде вектор-функции 
и
вычислим ее частные производные: 
; 
.
Коэффициенты
первой квадратичной формы
определим
по формулам
;
;
.
Тогда
;
;
.
Таким
образом,
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Траектория движущейся точки задается уравнением Тогда значение касательного ускорения в момент равно …
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение: Касательное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как . Вычислим производные первого и второго порядка. Найдем , при любых значениях .
Тема: Асимптоты кривой Асимптоты кривой имеют вид …
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Решение: Кривая описывается соотношением , то есть функция представлена в явном виде. В точке функция имеет разрыв, поэтому уравнение вертикальной асимптоты имеет вид: . Наклонные или горизонтальные асимптоты определяются уравнением (для горизонтальных асимптот ). 1. Находим асимптоту при (правую асимптоту): , . Следовательно, уравнение правой асимптоты имеет вид: . 2. Аналогично находим асимптоту при (левую асимптоту): , . Следовательно, уравнение левой асимптоты совпадает с уравнением правой асимптоты и имеет вид: . Таким образом, прямые и являются асимптотами заданной кривой.
Тема:
Дифференциальная геометрия
поверхностей
Точка
с координатами 
на
поверхности 
является
…
|
|
|
гиперболической точкой |
|
|
|
параболической точкой |
|
|
|
эллиптической точкой |
|
|
|
точкой уплощения |
Решение:
Тип
точки на поверхности определяется по
виду соприкасающегося параболоида в
этой точке к поверхности.
Построим
соприкасающийся параболоид:
.
Вычислим
частные производные второго
порядка:
; 
; 
.
В
точке
; 
; 
.
Тогда
соприкасающийся параболоид 
,
или 
является
гиперболическим параболоидом, а сама
точка
относится
к гиперболическому типу.
Тема:
Дифференциальная геометрия
поверхностей
Огибающая
семейства сфер 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Из
системы 
следует,
что
, 
.
Таким
образом, огибающая имеет вид
.
Это цилиндр.
Тема: Основные понятия топологии Гомеоморфной к тору является …
|
|
|
«кружка с ручкой» |
|
|
|
сфера |
|
|
|
«крендель» |
|
|
|
куб |
Решение: Тор является многосвязным, а сфера и куб являются односвязными. Род тора равен 1, а род «кренделя» 2. Только с поверхностью «кружки с ручкой» можно установить взаимно-однозначное соответствие, поэтому поверхностью гомеоморфной к тору является поверхность «кружки с ручкой».
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Точка с координатами на поверхности является …
|
|
|
гиперболической точкой |
|
|
|
параболической точкой |
|
|
|
эллиптической точкой |
|
|
|
точкой уплощения |
Решение: Тип точки на поверхности определяется по виду соприкасающегося параболоида в этой точке к поверхности. Построим соприкасающийся параболоид: . Вычислим частные производные второго порядка: ; ; . В точке ; ; . Тогда соприкасающийся параболоид является гиперболическим параболоидом, а сама точка относится к гиперболическому типу.
Тема: Основные понятия топологии Тривиальная топологическая структура на множестве задается множеством …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Множество подмножеств данного множества задает топологию, если выполняются следующие свойства: – пустое множество и данное множество входят в ; – объединение любого числа и пересечение конечного числа подмножеств из снова принадлежит . А тривиальная топологическая структура состоит из пустого множества и самого множества , то есть верным будет ответ: .
Тема:
Асимптоты кривой
Асимптоты
кривой 
имеют
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и 
и 
Тема:
Дифференциальная геометрия кривых
К
кривой 
проведена
нормаль, параллельная прямой 
.
Тогда уравнение нормали имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Угловой
коэффициент прямой 
.
Так как касательная перпендикулярна
нормали, точку касания 
найдем
из условия 
,
или 
.
Решив это уравнение, получим 
, 
.
Тогда
уравнение нормали примет вид: 
или
Тема:
Асимптоты кривой
Асимптоты
графика функции 
задаются
уравнениями …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, 
, 
Решение:
Функция
представлена в явном виде
.
В
точке
функция
имеет разрыв, поэтому уравнение
вертикальной асимптоты имеет
вид
.
Наклонные
или горизонтальные асимптоты определяются
уравнением 
(для
горизонтальных асимптот
).
1.
Находим асимптоту 
при
(правую
асимптоту):
,
.
Следовательно,
уравнение правой асимптоты имеет
вид
.
2.
Аналогично находим асимптоту
при
(левую
асимптоту):
;
.
Следовательно,
уравнение левой асимптоты совпадает с
уравнением правой асимптотой и имеет
вид
.
Таким
образом, прямые
и
являются
асимптотами заданной кривой.
Тема: Основные понятия топологии Тривиальная топологическая структура на множестве задается множеством …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Множество подмножеств данного множества задает топологию, если выполняются следующие свойства: – пустое множество и данное множество входят в ; – объединение любого числа и пересечение конечного числа подмножеств из снова принадлежит . А тривиальная топологическая структура состоит из пустого множества и самого множества , то есть верным будет ответ: .
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Первая квадратичная форма поверхности имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Траектория движущейся точки задается уравнением Тогда значение касательного ускорения в момент равно …
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение: Касательное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как . Вычислим производные первого и второго порядка. Найдем , при любых значениях .
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Вектор нормали к поверхности гиперболического параболоида в точке имеет координаты …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Координаты вектора нормали в точке к поверхности, заданной явно в виде , вычисляются по формуле . Вычислим частные производные функции в точке : ; . Тогда вектор нормали в точке будет равен:
Тема: Асимптоты кривой Асимптоты кривой имеют вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Для
кривой, заданной неявно многочленом
-
ой степени уравнения асимптот задаются
соотношением: 
,
где 
-
совокупность членов степени
,
а
и 
находятся
из уравнения 
.
Составив
уравнение 
,
получим зависимость между
и
: 
.
Так
как 
; 
; 
,
то
уравнение асимптоты примет вид: 
и
ДЕ4. Дифференциальное и интегральное исчисление
Тема:
Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых
функциях
Дифференциал
функции
равен 
Тема: Приложения определенного интеграла Площадь фигуры, изображенной на рисунке
Равна 
Решение:
Площадь
данной фигуры можно вычислить по
формуле 
,
где а-«левая» точка пересечения параболы
и оси Ох, 
,
а 
.
Определим точки пересечения параболы
и оси 
,
решив уравнение 
.Получаем: 
.
Тема:
Непрерывность функции, точки
разрыва
Количество
точек разрыва функции 
равно
2.
Решение:
Точку
называют
точкой разрыва функции
,
если она не является непрерывной в этой
точке. В частности, точками разрыва
данной функции могут являться точки, в
которых знаменатель равен нулю, то
есть 
.
Однако область определения
функции 
определяется
как 
,
то есть имеет вид
.
Тогда
имеет
2 точки разрыва.
,
удовлетворяющие условию
.
Тема:
Дифференциальное исчисление ФНП
Частная
производная
функции 
имеет
вид 
.
Тема:
Непрерывность функции, точки
разрыва
Точка
является
точкой разрыва функции …
Решение:
Точку
называют
точкой разрыва функции
,
если она не является непрерывной в этой
точке. В частности, точками разрыва
данных функций являются точки, в которых
знаменатель равен нулю, то есть 
,
или: 
.
Точка
не
является точкой разрыва функции 
,
так как область определения функции 
имеет
вид 
,и
;
не
является точкой разрыва функции
,
так как область определения функции 
имеет
вид 
,
и 
;
не
является точкой разрыва функции 
,
так как область определения функции 
имеет
вид 
,
и 
.
Таким образом, точка является точкой разрыва функции .
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Смешанная частная производная второго порядка функции имеет вид …
Тема:
Приложения определенного интеграла
Площадь
фигуры, ограниченной параболой 
и
осью
,
равна …
|
|
|
36 |
Решение:
Площадь
данной фигуры можно вычислить по
формуле
где
и 
–
это точки пересечения параболы и оси
,
а 
.
Определим точки пересечения параболы
и оси
,
решив уравнение 
.
Получаем: 
и 
.
Тогда
Тема:
Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых
функциях
Дифференциал
второго порядка функции 
равен
…
|
|
|
|
Решение:
Дифференциал
второго порядка 
функции
выражается
формулой 
.Тогда
вычислив 
и 
получаем 
.
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Частная производная функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
При
вычислении частной производной
по
переменной
,
переменные
и 
рассматриваем
как постоянные величины. Тогда
.
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Для функции точка является точкой …
|
|
|
разрыва второго рода |
|
|
|
разрыва первого рода |
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
устранимого разрыва |
Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке : , . Так как один из односторонних пределов в точке , а именно , то точка является точкой разрыва второго рода.
Тема:
Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых
функциях
Дифференциал
функции 
равен
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Дифференциал 
функции
выражается
формулой 
.
Тогда
вычислив 
,
получаем 
.
Тема:
Приложения определенного интеграла
Площадь
фигуры, изображенной на рисунке
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Площадь
данной фигуры можно вычислить по
формуле 
,
где 
, 
, 
,
–
«правая» точка пересечения параболы
и
прямой
.
Определим значение
,
решив уравнение 
.
Получаем: 
.
Тогда
Тема:
Непрерывность функции, точки разрыва
Точка
разрыва функции 
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Данная
функция определена и непрерывна на
каждом из интервалов 
и
меняет свое аналитическое выражение в
точках 
и 
.
Поэтому функция может иметь разрыв
только в этих точках. Исследуем их на
непрерывность.
Для точки 
вычислим
односторонние пределы и значение функции
в этой точке:
,
,
и 
.
Так
как 
,
то точка
является
точкой непрерывности данной функции.
Для
точки 
вычислим
односторонние пределы и значение функции
в этой точке:
,
,
и 
.
Так
как 
,
то точка
является
точкой разрыва первого рода.
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Смешанная частная производная второго порядка функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда
Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Приближенное
значение функции 
при 
,
вычисленное с использованием дифференциала
первого порядка, равно …
|
|
|
|
Тема:
Дифференциальное исчисление ФНП
Значение
частной производной
функции 
в
точке 
равно
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
При
вычислении частной производной
по
переменной
переменную
рассматриваем
как постоянную величину.
Тогда
.
Следовательно, 
Тема:
Приложения определенного интеграла
Площадь
фигуры, изображенной на рисунке
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
Решение:
Площадь
данной фигуры можно вычислить по
формуле 
,
где 
.
Тогда 
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Для функции точка является точкой …
|
|
|
разрыва второго рода |
|
|
|
разрыва первого рода |
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
устранимого разрыва |
Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке : , . Так как один из односторонних пределов в точке , а именно , то точка является точкой разрыва второго рода.
Тема:
Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых
функциях
Дифференциал
второго порядка функции 
равен
…
|
|
|
|
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Частная производная второго порядка функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда .
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Для функции точка является точкой …
|
|
|
разрыва второго рода |
|
|
|
разрыва первого рода |
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
устранимого разрыва |
Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке : , . Так как один из односторонних пределов в точке , а именно , то точка является точкой разрыва второго рода.
Тема:
Приложения определенного интеграла
Площадь
фигуры, изображенной на рисунке
равна
…
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Площадь
данной фигуры можно вычислить по
формуле
,
где 
, 
,
а 
.
Тогда
Тема:
Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых
функциях
Дана
функция 
.
Тогда больший действительный корень
производной этой функции принадлежит
промежутку …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Эта
функция представляет собой полином
пятого порядка и дифференцируема на
всей числовой оси. Согласно теореме
Ролля между двумя корнями (нулями) этой
функции находится по крайней мере один
корень ее производной. Поскольку
представляет
собой полином (4-го порядка), то между
двумя корнями функции
находится
ровно один корень ее производной
.
Найдем
корни функции
: 
.
Тогда больший действительный корень
функции
принадлежит
интервалу
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Частная производная функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях Дана функция . Тогда меньший действительный корень производной этой функции принадлежит промежутку …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Эта функция представляет собой полином 6-го порядка и дифференцируема на всей числовой оси. Согласно теореме Ролля между двумя корнями (нулями) этой функции находится по крайней мере один корень ее производной. Поскольку представляет собой полином (5-го порядка), то между двумя корнями функции находится ровно один корень ее производной . Найдем корни функции : . Тогда меньший действительный корень функции принадлежит интервалу .
Тема:
Непрерывность функции, точки разрыва
Точка
разрыва функции 
равна
…2
Тема: Приложения определенного интеграла Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью , равна …
|
|
|
36 |
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле , где и – это точки пересечения параболы и оси , а . Определим точки пересечения параболы и оси , решив уравнение . Получаем: и . Тогда
Тема:
Дифференциальное исчисление ФНП
Полный
дифференциал функции 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Полный
дифференциал функции нескольких
переменных равен сумме произведений
частных производных этой функции на
дифференциалы соответствующих независимых
переменных, то есть
.
Тогда
Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях Предел равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Для
вычисления данного предела применим
правило Лопиталя. Так как 
,
то при помощи алгебраических преобразований
получим неопределенность вида 
,
или 
,
например:
.
Тогда
можно воспользоваться формулой вида 
,
то есть 
.
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Точка разрыва функции равна …
|
|
|
2 |
|
|
|
– 1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
Решение:
Данная
функция определена и непрерывна на
каждом из интервалов 
и
меняет свое аналитическое выражение в
точках 
и 
Поэтому
функция может иметь разрыв только в
этих точках. Исследуем их на
непрерывность.
Для точки 
вычислим
односторонние пределы и значение функции
в этой точке:
,
,
и 
.
Так
как 
,
то точка
является
точкой непрерывности данной функции.
Для
точки
вычислим
односторонние пределы и значение функции
в этой точке:
,
,
и 
.
Так
как 
,
то точка
является
точкой разрыва первого рода.
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Для функции точка является точкой …
|
|
|
разрыва второго рода |
|
|
|
разрыва первого рода |
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
устранимого разрыва |
Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке : , . Так как один из односторонних пределов в точке , а именно , то точка является точкой разрыва второго рода.
Тема:
Приложения определенного интеграла
Длина
дуги кривой 
от
точки 
до
точки 
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Длина
дуги плоской кривой
,
ограниченной прямыми 
, 
,
определяется по формуле 
.
В нашем случае
,
,
а
.
Тогда
Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях Приближенное значение функции при , вычисленное с использованием дифференциала первого порядка, равно …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Воспользуемся
приближенной формулой:
.
Полагая 
, 
,
приходим к равенству
.
Вычислив
последовательно
,
и 
,
получаем:
.
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Смешанная частная производная второго порядка функции имеет вид …
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Полный дифференциал функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных, то есть . Тогда
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Точка разрыва функции равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Данная функция определена и непрерывна на каждом из интервалов и меняет свое аналитическое выражение в точках и . Поэтому функция может иметь разрыв только в этих точках. Исследуем их на непрерывность. Для точки вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке: , , и . Так как , то точка является точкой непрерывности данной функции. Для точки вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке: , , и . Так как , то точка является точкой разрыва первого рода.
Тема: Приложения определенного интеграла Площадь фигуры, изображенной на рисунке равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Площадь
данной фигуры можно вычислить по
формуле
,
где 
, 
, 
.
Тогда
.
Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях Дифференциал второго порядка функции равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Дифференциал
второго порядка
функции
выражается
формулой
.
Тогда, вычислив 
и 
,
получаем, что 
ДЕ5.Функциональный анализ
Тема:
Мера плоского множества
Мера
плоского множества 
равна
0
Решение: В условии дана окружность радиуса 1, то есть кривая. Ее мера равна нулю.
Тема:
Элементы теории множеств
Даны
два множества
и
.
Тогда количество целых значений
,принадлежащих
пересечению множеств А и В равно 4.
Тема:
Метрические пространства
Функция
заданная
на множестве целых чисел …
|
|
|
удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства |
Тема: Отображение множеств Прообразом множества при отображении является
Тема:
Элементы теории множеств
Даны
два множества: 
и
.Тогда
количество целых значений х , принадлежащих
объединению множеств А и В, равно …8
Тема:
Мера плоского множества
Мера
плоского множества, изображенного на
рисунке,
Равна 
.
Решение:
Мера
плоского множества равна площади
соответствующей фигуры, то есть для ее
определения из площади круга радиуса
4 нужно вычесть площадь круга радиуса
2. Следовательно, мера этого множества
равна 
Тема:
Метрические пространства
Функция 
,
где
и
,
….
не
удовлетворяет аксиоме треугольника
не удовлетворяет аксиоме симметрии
не удовлетворяет аксиоме тождества
удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства
Решение: Функция не удовлетворяет аксиоме треугольника, например, для точек (-1, -1), (0, 0) и (1, 1).
Тема:
Отображение множеств
Биективное
отображение отрезка 
на
отрезок 
может
быть задано функцией …
Тема:
Метрические пространства
Расстояние
между функциями 
и 
пространства
всех непрерывных действительных функций,
определенных на отрезке
,
с метрикой 
,
равно…3
Решение: 
Тема:
Отображение множеств
Отображение,
действующее из отрезка
на
действительную числовую ось и имеющее
обратное отображение, может быть задано
функцией … 
Решение: Функция, действующая из отрезка на действительную числовую ось и имеющая обратную, должна быть непрерывной и монотонной на . Например, это функция
Тема:
Мера плоского множества
Мера
плоского множества 
равна
…
Решение: Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, изображенной на рисунке:
Вычислим
ее с помощью определенного интеграла. 
Следовательно,
мера этого множества равна 
Тема:
Отображение множеств
Отображение
действует
по правилу: 
Тогда
имеет
вид …
Решение:
Так
как 
при
и
при
,то
Тема: Метрические пространства Функция , где и , …
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме треугольника |
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме симметрии |
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме тождества |
|
|
|
удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства |
Решение: Функция , где и , не удовлетворяет аксиоме треугольника, например, для точек (-1, -1), (0, 0) и (1, 1).
Тема:
Элементы теории множеств
Даны
три множества: 
, 
и 
.
Тогда число элементов множества 
равно
…
|
5 | |
Решение:
Выполним
операцию в скобках, то есть определим
множество 
.
Теперь выполним объединения 
,
в результате которого получится множество
чисел 
.
Таким образом, множество
содержит
пять элементов.
Тема: Мера плоского множества Мера плоского множества , где А= и равна …
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
Решение: Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, то есть квадрата со стороной 2. Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, то есть круга с радиусом 1. Так как круг целиком лежит внутри квадрата, то искомая мера равна
Тема:
Элементы теории множеств
Даны
множества: 
и 
.
Тогда число элементов, принадлежащих
их пересечению равно …
|
3 | |
Решение:
.
Определим множество 
.
Получили множество, состоящее из трех
элементов.
Тема: Мера плоского множества Мера плоского множества равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
Решение:
Мера
плоского множества
равна
площади соответствующей фигуры,
изображенной на рисунке:
Вычислим
ее с помощью определенного
интеграла. 
Следовательно,
мера этого множества равна 
.
Тема: Элементы теории множеств Даны два множества: и . Тогда количество целых значений , принадлежащих пересечению множеств и , равно …
|
4 | |
Решение: Пересечением множеств и является промежуток [-1; 3), который содержит четыре целых числа.
Тема: Метрические пространства Функция , где и , …
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме треугольника |
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме симметрии |
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме тождества |
|
|
|
удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства |
Тема: Отображение множеств Пусть задано отображение . Тогда имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
По
определению прообраза множества 
.
Тогда
Тема:
Элементы теории множеств
Даны
множества: 
, 
.
Тогда число целых чисел, принадлежащих
их объединению равно …
|
9 | |
Решение:
.
.
Таким образом, объединение содержит
девять элементов.
Тема:
Мера плоского множества
Плоская
мера множества 
равна
…
|
|
|
0 |
|
|
|
32 |
|
|
|
8 |
|
|
|
18 |
Тема: Метрические пространства Расстояние между функциями и пространства всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке , с метрикой , равно …
|
|
|
3 |
|
|
|
– 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Тема:
Отображение множеств
Обратимым
на 
является
отображение …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Отображение 
называется
обратимым, если существует отображение 
такое,
что 
,
где 
–
тождественные отображения на
множествах
и
соответственно.
По
критерию обратимости: отображение
будет
обратимым, если оно инъективно и
сюръективно.
Отображение
на
отрезке
не
инъективно, например, для точек
и 
образы
совпадают: 
.
Отображения
и
также
не инъективны, например, для точек
и 
в
обоих случаях 
.
Отображение 
инъективно
(для 
)
и сюръективно (отрезок
переходит
в отрезок 
);
обратным для него будет отображение 
Тема: Мера плоского множества Мера плоского множества равна …
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Решение: В условии дана окружность радиуса 1, то есть кривая. Ее мера равна нулю.
Тема: Отображение множеств Отображение действует по правилу: Тогда имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема: Элементы теории множеств Даны множества: и . Тогда число элементов, принадлежащих их пересечению равно …
|
3 | |
Решение: . Определим множество . Получили множество, состоящее из трех элементов.
Тема: Отображение множеств Обратимым на является отображение …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема: Элементы теории множеств Даны два множества: и . Тогда количество целых значений , принадлежащих пересечению множеств и , равно …
|
4 |
Тема: Метрические пространства Расстояние между функциями и пространства всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке , с метрикой , равно …
|
|
|
3 |
Тема: Элементы теории множеств Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …
|
1 | |
Решение: Определим множество и выполним операцию пересечения . В результате получится множество , состоящее из одного элемента.
Тема:
Отображение множеств
Прообразом
множества 
при
отображении 
является
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Прообразом
множества
при
отображении
являются
те точки
,
которые при данном отображении попадают
в отрезок
,
то есть множество 
.
Тема: Мера плоского множества Плоская мера отрезка [0; 1], лежащего на оси в плоскости равна …
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
бесконечности |
|
|
|
несчетна |
Решение: Плоская мера отрезка [0; 1], лежащего на оси в плоскости равна нулю.
Тема: Метрические пространства Расстояние между точками и в метрике , где и равно 4
ДЕ6.Комплексный анализ
1) Области на комплексной плоскости
Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке,
удовлетворяют условию …
2) Дифференцирование функции комплексного переменного
Значение
производной функции 
в
точке
равно
…
Решение: Производная функции имеет вид
.
