- •Раздел 9
- •Функции двух переменных
- •Основные понятия функции двух переменных
- •Предел и непрерывность функции двух переменных
- •Дифференцирование фнп
- •2.1. Частные производные фнп
- •2.2. Частные производные высших порядков
- •2.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •2.4. Производная сложной функции. Полная производная
- •2.5. Дифференцирование неявной функции
- •Исследование фнп
- •3.1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •3.2. Экстремум функции двух переменных
- •Основные понятия скалярного поля
- •4.1. Скалярное поле
- •4.2. Производная по направлению
- •4.3. Градиент
4.3. Градиент
В каждой точке области , в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных в выбранной точке . Назовем этот вектор градиентом функции и обозначим его символами или (набла-оператор, записываемый в виде «вектора» с компонентами ).
Определение 4.4. Градиентом функции в точке называется вектор, проекции которого служат значения частных производных этой функции, т.е.
. (4.3)
Подчеркнем, что проекции градиента зависят от выбора точки и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией , соответствует определенный вектор – градиент этой функции. Отметим, что градиент линейной функции есть постоянный вектор .
Учитывая то, что скалярное произведение равно модулю одного вектора умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что: производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е.
,
где угол между и направлением .
Установим некоторые свойства градиента.
Отсюда следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда , т.е. при .
1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно .
Таким образом, направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. В противоположном направлении функция будет быстрее всего убывать. наибольшая скорость изменения функции в точке .
2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.
3) Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящего через эту точку.
Пример 4.2. Дана функция . Найти:
1) производную в точке по направлению вектора ;
2) производную в точке по направлению к точке ;
3) градиент функции в точке ;
4) наибольшую скорость возрастания функции в точке .
Решение. 1) Находим частные производные и значения частных производных в точке :
;
;
.
Находим направляющие косинусы вектора :
.
Тогда по формуле (4.1) получаем:
.
Так как , то в данном направлении функция возрастает.
2) Находим координаты и направляющие косинусы вектора :
;
.
Тогда по формуле (19.16) получаем:
.
Так как , то в данном направлении функция убывает.
3) Используя формулу (4.3) запишем градиент функции в точке :
.
4) Находим наибольшую скорость возрастания функции в точке :
.