Дифференциальные уравнения
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Основные понятия ду высших порядков
Как уже отмечалось выше, ДУ -го порядка символически можно записать в виде
.
Если ДУ -го порядка можно разрешить относительно -й производной, то ДУ будет иметь вид
.
В частности, ДУ второго порядка в общем
случае записывается в виде
,
или, если это возможно, в виде, разрешенном
относительно старшей производной, т.е.
.
Будем рассматривать только такие ДУ высших порядков, которые можно разрешить относительно высшей производной. Для этих уравнений имеет место теорема о существовании и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме о решении ДУ первого порядка. Теорему примем без доказательства.
Теорема 2.1. Если в уравнении
функция
и ее частная производные по аргументам
непрерывны в некоторой области, содержащей
значения
,
,
,
…,
,
то существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условиям
,
,
…,
,
которые называются начальными условиями.
Определение 2.1. Общим решением
ДУ
-го
порядка называется функция
,
зависящая от
и
произвольных постоянных
.
Функция вида
,
неявно определяющая общее решение,
называется общим интегралом ДУ
-го
порядка.
Определение 2.2. Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных , которые находятся из начальных условий, называется частным решением.
Решить (проинтегрировать) ДУ -го порядка – значит:
1) найти его общее решение (если начальные условия не заданы);
2) найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям.
Ду высших порядков, допускающие понижение порядка
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть этого метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа ДУ, допускающих понижение порядка.
I тип: ду вида .
Так как
,
то
,
где
постоянная
интегрирования.
Интегрируя еще раз, получаем
.
Продолжая далее, получим, наконец (после интегрирований), выражение общего решения. Чтобы найти частное решение, при заданных начальных условиях находим значения произвольных постоянных.
Пример 2.1. Найти частное решение ДУ
,
удовлетворяющее начальным условиям
,
,
.
Решение. Сначала находим
:
.
Далее
.
И, наконец,
.
Итак, общее решение имеет вид
.
Учитывая начальные условия, находим
постоянные
.
Получаем следующую систему уравнений:
.
Следовательно, получаем следующее частное решение
.
II тип: ду вида ,
не содержащие искомой функции и ее
производных
.
Данное уравнение с помощью замены
можно свести к уравнению
порядка
.
Предположим, что для полученного
уравнения найдено общее решение
.
Тогда искомую функцию
можно получить путем
-кратного
интегрирования функции
.
Простейшее из таких уравнений имеет
вид
.
С помощью подстановки
его сводим к уравнению первого порядка
с неизвестной функцией
,
а затем из уравнения
находим
.
Пример 2.2. Найти частное решение ДУ
при
.
Решение. Это уравнение вида
.
Полагая
,
,
получаем линейное ДУ первого порядка
относительно неизвестной функции
:
.
Полагая в последнем уравнении
,
получаем:
или
Далее решая, получаем сначала
,
а потом
.
Следовательно,
.
Возвращаясь к , получаем:
Тогда
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:
.
Воспользовавшись начальными условиями, получаем систему:
.
Откуда
.
Следовательно, частное решение исходного
уравнения имеет вид:
.
III тип:
ДУ вида
,
не содержащие независимой переменной.
Если положить
,
а за новую переменную принять
,
то порядок данного уравнения понизится
на единицу. В этом случае производные
находят по правилу дифференцирования
сложной функции:
,
,
и т.д.
Простейшее из таких уравнений имеет
вид
.
С помощью подстановки
его сводят к уравнению
с неизвестной функцией
,
затем из уравнения
находят
.
2.3. Линейные дифференциальные уравнения
высших порядков
Определение 2.3. Линейным ДУ -го порядка называется уравнение вида
,
(2.1)
где
заданные функции
от
.
Оно содержит искомую функцию
и все ее производные лишь в первой
степени. Функции
называются коэффициентами
уравнения (2.1), а функция
ее свободным
членом (правой частью).
Если свободный член
,
то уравнение (2.1) называется линейным
однородным уравнением; если
,
то уравнение (2.1) называется неоднородным.
Разделив уравнение (2.1) на
и обозначив
,
получаем уравнение в виде приведенного:
.
(2.2)
В уравнении (2.2) коэффициенты и свободный член считаются непрерывными функциями.
Установим некоторые свойства (примем без доказательства) линейных однородных уравнений, ограничившись уравнением второго порядка.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка, которое имеет следующий вид:
.
Теорема 2.2. Если функции
и
два частных решения
ЛОДУ второго порядка, то функция
также является решением этого уравнения.
Теорема 2.3. Если функция
есть частное решение
ЛОДУ второго порядка, то функция
также является решением этого уравнения.
Далее введем понятия линейно независимые и линейно зависимые решения ЛОДУ второго порядка.
Определение 2.4. Два решения ЛОДУ
второго порядка
и
называются линейно независимыми
на промежутке
,
если их отношение на этом промежутке
не является постоянным, т.е.
.
Два решения
и
называются линейно зависимыми
на промежутке
,
если существует такое постоянное число
,
что
при
.
В этом случае
.
Например, пусть имеем уравнение
.
Легко проверить, что функции
,
,
,
являются решениями этого уравнения.
При этом функции
и
линейно независимы на любом отрезке,
так как отношение
.
Функции
и
являются линейно зависимыми, так как
.
Теорема 2.4 (структура общего решения ЛОДУ второго порядка).
Если два частных решения и ЛОДУ второго порядка являются линейно независимыми на промежутке , то общим решением уравнения является функция
,
где
и
произвольные
постоянные.
Например, общим решением уравнения
является функция
.