Svetlov_Filosofia_matematiki
.pdfВ. А. Светлов
ФИЛОСОФИЯ
МАТЕМАТИКИ
Основные программы обоснования математики хх столетия
Допущено Учебно-методическим объединением
по направлениям педагогического образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 540400 (050400)
"Социально-экономическое образование»
Издание второе
URSS
МОСКВА
ББК 22.1 Ф 87.1 87.4 22.12 72.3
Светлов Виктор Александрович
Философия математики: Осиовиые проrраммы обосноваиия математики ХХ столетия: Учебное пособие. Изд. 2-е. - М.: КомКнига, 2010. - 208 с.
Настоящее пособие подготовлено на основе авторского курса по истории и фило софии науки для аспирантов естественно-научногои гуманитарного циклов. Дан под робный анализ четырех ведущих программ обоснования философии хх столетия - логицизма, интуиционизма, конструктивизма и формализма. Главный акцент сделан на раскрытии философских допущений перечисленных программ и доступном изложении тезисов и основных результатов каждой из них. Первая глава книги посвящена изложе нию общего подхода к проблеме обоснования математики. Предлагается решение, выхо дящее за рамки известиой дихотомии априоризма и апостериоризма математического знания. Объясняется, почему ни одна из анализируемых программ не может считаться удовлетворительной в полной мере. В книге используется большое количество первоис точников и критической литературы.
Пособие написано в соответствии с требованиями Программы кандидатских экза менов по курсу «История И философия науки», одобренной Высщей аттестационной комиссией и утвержденной приказом Министерства образования России от 17.02.2004
N2697.
Адресовано студентам, аспираитам, преподавателям, ученым, а также всем, кто самостоятельно изучает философские проблемы математики и интересуется логикой и методологией современной науки.
Издательство «КОМКНИГ8».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 9. Формат60х90!16. Псч. л. 13. Зак. N, 3169.
Отпечатано в 000 ,JlЕНАНД".
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетня Октября, 1I А, стр. 11.
ISBN 978-5-484-01124-7 |
© |
|
КомКнига, 2006, 2009 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯЛИТЕРАТУРА |
|
|
|
|
||
|
I~I;;::',"::~~=:,s,;;:..... |
|
|
8З88 10 109919 |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
http://URSS.ru |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
Тел /факс 7 |
(499) |
135-42-16 |
|
|
11111111111111111111111111 |
|
|
URSS Тел./факс: 7 |
(499) |
135-42-46 |
|
|
|
|
|
9 |
|
785484 011247 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведенаили передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элек тронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, а также размещениев Интернете,если на то нет письменногорвэрешениявладельца.
Оглавление
ПреАисловие |
4 |
|
Глава 1. Проблема обоснования математики............................... |
5 |
|
Глава 2. |
Кризис математики в начале ХХ века............................ |
26 |
Глава 3. |
Логицизм. Математика как создание |
|
|
логически очевидных конструкций |
37 |
Глава 4. |
Интуиционизм и конструктивизм. |
|
|
Математика как создание интутивно |
|
|
и алгорифмически очевидных конструкций.................. |
81 |
Глава 5. |
Формализм. Математика как создание |
|
|
формально непротиворечивых конструкций |
129 |
Приложение 1. Символическая логика |
|
|
|
(основные допущения и определения) |
159 |
Приложение2. Парадокс лжеца |
200 |
ПреАисловие
к предмету философии математики принято относить вопросы, касающиеся обоснования математики как науки. хх век был уни кальным временем, когда проблема обоснования математики счита лась одной из самых приоритетных, и лучшие математические умы потратили немало времени на поиски ее адекватного решения. В ре зультате бьши получены фундаментальные результаты, имеющие выдающееся философское значение.
В пособии дан подробный анализ четырех ведущих программ обоснования философии хх века - логицизма, интуиционизма, конструктивизма и формализма. Главный акцент сделан на раскры тии философских допущений перечисленных программ и доступном изложении тезисов и основных результатов каждой из них. В посо бии используется большое количество первоисточников и критиче ской литературы. В первой главе излагается общий подход к пробле ме обоснования математики. Предлагается решение, выходящее за рамки известной дихотомии априоризма и апостериоризма матема тического знания. Обьясняется, почему ни одна из анализируемых программ не может считаться удовлетворительной в полной мере.
Для удобства читателей в пособие в качестве справочного и общеобразовательного материала включены два специальных при ложения. В первом разьясняются основные допущения и определе ния современной символической логики. Во втором содержится доступный анализ «парадокса лжеца», сыгравшего значительную роль в формировании современных концепций обоснования мате
матики.
Пособие соответствует требованиям новой программы подго товки аспирантов по теме «философия математики» и рассчитано на всех, кто интересуется философскими вопросами математики, логикой и методологией современной науки.
Глава 1
Проблема обоснования математики
Хорошо, что существуют логики и интуи
тивисты; кто рискнет утверждать, что он пред
почел бы, чтобы [логик] Вейерштрасс никогда не писал или чтобы [интуитивиста] Римана не бьmо? Таким образом, мы должны примирить ся С разнообразием умов или, еще лучше, мы
должны ему радоваться.
А. Пуанкаре. Наука и метод
Основной принцип научного исследования состоит в том, что
ни одно высказывание, ни одна теория не принимаются научным
сообществом без достаточных оснований. Однако в ряду всех наук математика занимает особое место. Ее утверждения не просто ис тинны, а необходимо истинны. В чем источник необходимости ма тематических утверждений? Что может служить достаточным ос нованием их принятия? - Ответы на эти принципиальные вопросы образуют содержание проблемы обоснования математики.
Было предложено множество ответов, большинство которых источник необходимости математических истин видит в особенно
стях математического знания и соответственно этому развивает
особую программу обоснования математики. Это прежде всего про граммы логицизма (основание математики - в логике), интуицио
низма (основание математики - в априорной интуиции времени), конструктивизма (основание математики - в точном предписании, называемом алгорифмом) и формализма (основание математики - в представлении ее в виде исчисления), которые подробно анализи-
6 |
Глава 1 |
руются ниже. Для полноты картины к ним следует добавить так называемый платонистский взгляд на природу и особенности мате матических объектов, концепцию самоочевидности математиче ских теорий и эмпиристскую доктрину необходимости математиче
ского знания.
Согласно платонистам, которые не образуют самостоятельного направления и могут ПРИНадЛежать к разным школам обоснования математики, математика имеет дело с объектами особого рода, ре
альность существования которых совершенно не зависит от при
родной действительности или по крайней мере не ниже уровня ре альности природных объектов. По мнению логициста Фреге, задача
математика заключается в открытии того, что уже существует на
самом деле, а не в конструировании того, чего не было ранее. «Ма тематик в состоянии создать что угодно в столь же малой степени, как и географ; он также может лишь обнаружить то, что есть, и дать этому название... В арифметике мы занимаемся предметами, кото
рые не как нечто чуждое известны нам извне через посредничество
чувств, но которые даны непосредственноразуму... Нет ничего бо лее объективного,чем арифметическиезаконы»l.
Создательтеории множеств Кантор рассматривалбесконечные множества как объекты, как нечто, подобное идеям Платона. « ... Под •многообразием, или 'множеством' я понимаю вообще
всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. е. всякую
совокупность определенных элементов, которая может быть свя зана в одно целое с помощью некоторого закона, и таким обра зом я думаю определить нечто, родственное платоновскому 'эй досу' или ·идее' ... ».2 Платонизм Кантора был прямым следствием принятия допущения актуальной бесконечности.
В новейшее время платонистскую позицию в математике за щищал Гёдель, называя ее математическим реализмом. «... Классы и понятия можно мыслить как реальные объекты, т. е. классы как
•множества вещей', или как структуры, состоящие из множества вещей, а понятия как свойства вещей и отношения между ними, существующие независимо от наших определений и конструкций.
I Фреге Г. Основоположения арифметики. Томск, 2000. § 96, 105 (по принятой международной традиции при ссылках на публикации Фреге указываются только
параrrафы его работ).
Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985. С. 101.
Проблема обоснования математики |
7 |
|
|
Мне кажется, что допущение таких объектов так же законно, как и допущение физических тел, и имеются все основания верить в их существование. Они необходимы для получения удовлетворитель ной системы математики в том же смысле, в каком физические тела необходимы для удовлетворительной теории наших чувственных восприятий... »3
Неудовлетворительность платонистской точки зрения на обос нование математики состоит в том, что она не объясняет, а посту лирует необходимость существования определенных объектов. На самом деле любая математическая теория зависит от множества допущений, что делает объекты, существование которых она ут верждает, не абсолютно, а только условно необходимыми. Кроме того, она вступает в противоречие с тем способом, каким в дейст
вительности интеллект овладевает в процессе своего развития ма
тематическими операциями. Развитие математического мышления
ни в коем случае не является мгновенным единовременным актом,
как должно было быть, если бы платонисты были правы, а пред
ставляет последовательно прогрессивный, продолжающийся в те чение многих лет процесс. Интеллект способен выполнить матема тическую операцию, абстрагировать какое-либо свойство только
тогда, когда он имеет в своем распоряжении готовую операцио
нальную структуру. И пока такие структуры не созданы, математи ка с ее утверждениями не более необходима, чем сновидение. Ма тематические объекты - конструируемые в самом прямом смысле, а не открываемые нашим интеллектом объекты.
Аксиоматический характер многих математических теорий, а также особый статус аксиом в дедуктивной системе, их независи
мость от опыта наталкивают некоторых математиков на предполо жение, что необходимость математических суждений является следствием их самоочеви)].ности. Данный критерий восходит, по крайней мере, к Декарту, который утверждал, отвечая своим оппо нентам: «Все, что я воспринимаю ясно и отчетливо, по необходи мости истинно»4. Развернутую защиту концепции самоочевидности математических истин дал Лейбниц. По его мнению, в основе са моочевидности лежит то обстоятельство, что все математические
) Gбdеl К. Russell's Mathematical Logic // Philosophy of Mathematics. Епglеwооd
Cliffs, 1964. Р. 220.
4 Декарт р. Сочинения: В 2 т. Т. 2. М., 1994. С. 257.
8 |
Глава 1 |
ИСТИНЫ суть тождественные, т. е. необходимо истинные, истинные сами по себе, утверждения. Их отрицание, следовательно, всегда ложно. «Бесспорно, что тождественные предложения являются первыми из всех и не допускают никакого доказательства, будучи тем самым истинными сами по себе... И очевидно, что все необхо
димые, или вечно истинные, предложения являются виртуально
тождественными,- те, конечно, которые могут быть доказаны из одних только идей или определений... т. е. могут быть сведены к
первым истинам, так что окажется, что противоположноесодержит
в себе противоречиеи приходитв столкновениес каким-либотож деством,или первой истиноЙ»S.
К сожалению, несмотря на все усилия рационалистов, крите рий самоочевидностисам не является самоочевидным.Как хорошо
знают изучавшие математику, не все математическиеистины само
очевидны. Совсем не очевидно, почему квадратныйкорень из двух
не является рациональнымчислом. Кроме того, некоторые истины, особенно относящиесяк теории бесконечныхмножеств, не только не самоочевидны,но и вступаютв явное противоречиес нашей ин туицией конечного. Бесконечный опыт поколений убеждает, что часть всегда меньше целого6• Тем не менее определениебесконеч ности требует принятия прямо противоположного допущения: множествобесконечно,если и только если существуетсобственное подмножество(не равное всему множеству), которое находится во
взаимно однозначномсоответствиисо всем множеством.
Всем указанным взглядам на причину математическойнеоб ходимости противостоитточка зрения, согласно которой матема тика, если не по происхождениюсвоих абстракций, то по своему методу, - эмпирическая наука. Д. С. Милль7 В XIX в., Л. Кальмар8 и И. Лакатос9 в хх в. наиболее последовательно, хотя и с некото-
5 Лейбнuц Г. В. Сочинения: В 4 т. Т. 3. С. 139-140.
6 «Отсюда... философы уже давно доказали, что часть меньше целого, ис
пользовав следуюшее определение: меньшее есть то, что равно части другого (большего»).(ЛейбнuцГ. В. Указ. соч. С. 139.)
7 МWUlЬДЖ. С. Система логики силлогистической и индуктивной. М., 1914.
С. 201-234. Изд. 3. М.: ЛЕНАНД/URSS, 2010,
8 Kalmar L. Foundations of Mathematics - Wither Now? // ProbIems in the Philosophy of Mathematics. Amsterdam, 1967. Р. 187-194.
9 Lakatos 1. А Renaissance of Empiricism in the Recent Philosophy of mathematics 11 ProbIems in the Philosophy of Mathematics. Amsterdam, 1967. Р. 199-202.
Проблема обоснования математики |
9 |
|
рыми отличиями друг от друга, отстаивали эту точку зрения. Ос новные аргументы ее защитников таковы. Если математика - нау ка, то она, как и все остальные науки, должна быть опытной по происхождению, ее метод должен быть подобен общенаучному и степень необходимости ее положений не может превосходить сте пень необходимости естественнонаучных теорий. Математическая необходимость есть не более чем необходимость следования теорем из посылок, называемых аксиомами. Но это уже не онтологическая, а логическая необходимость. К математике в собственном смысле
она не имеет прямого отношения.
Неудовлетворительность эмпирического обоснования матема
тики следует из того, что математические суждения не просто ис
тинны, а истинны с необходимостью. Необходимость же может быть следствием только необходимости. Но опытные суждения не являются необходимо истинными и не могут служить формальным основанием истинности математического знания. Никакое число объединений двух различных объектов с тремя различными объек
тами не может доказать аподиктичность элементарного суждения
арифметики «2 + 3 = 5». Парадоксальность математической необ ходимости состоит в том, что ее доказательство вообще не требует обращения к внешнему опыту. Другим аргументом против эмпири ческого обоснования математики служит пример, который любил приводить Фреге. Ни один эмпирик не может удовлетворительно объяснить, какому внешнему, наблюдаемому в опыте событию со ответствует число О. Ему также трудно объяснить происхождение и операции с бесконечностью и тем более - с разными видами бес конечности. «Из опыта, т. е. посредством эксперимента, никогда нельзя прийти к заключению о возможности или существовании сколь угодно большого числа, ибо число предметов, являющихся объектом нашего опыта, даже если оно велико, все же не превосхо дит некоторого конечного предела»lO.
Можно поэтому согласиться со следующей оценкой перспек тивности эмпирического обоснования математики. «Верно, что ма тематика в конечном счете отражает объективный мир, но она (как наука) имеет свою специфику по сравнению с эмпирическими нау ками, и поэтому нельзя отождествлять методы развития и обосно-
10 ГWlьбертД Основания геометрии. М.; Л., 1948. С. 323.
10 |
Глава 1 |
вания математики с методами развития и обоснования эмпириче ских наук. Методы математики и естествознания в определенной
степени сходны, но не идентичны, что связано прежде всего с тем
обстоятельством, что идеальные модели пространственных форм и количественных отношений действительности, являющиеся в ко
нечном счете предметом математики, не даны нам непосредственно
эмпирически»1I •
Кроме необходимости, математическое знание обладает и дру гими особенностями, также влияющими на построение программы обоснования.
Математическая теория - содержательная или формальная де дуктивная система, управляемая небольшим числом аксиом. Каждая математическая аксиома - абстракция отношений между природ ными или социальными объектами. Природа идеализаций такова, что никакой опыт не соответствует им с абсолютной точностью. Всякая попытка провести идеально прямую линию, скажем на бу маге, обречена на неудачу. С одной стороны, идеализации - про дукты творческого воображения, но никак не результаты наблюде ния, обобщения и систематизации данных опыта. С другой стороны, только благодаря идеализациям математическое доказательство становится необходимым и универсально применимым.
В дедуктивных системах аксиомы выполняют функцию посы
лок, из которых с помощью специальных правил выводятся следст
вия (теоремы). В отличие от естественнонаучных теорий, в которых
истинность посылок зависит от истинности их следствий, в мате матических теориях все наоборот - истинность теорем полностью обусловлена истинностью аксиом, из которых они следуют. Значит, истинность математических утверждений зависит не от опыта, а от истинности аксиом. Последние обосновываются либо посредством интуиции, либо признаются априорными конструкциямиl2•
Таким образом, в подавляющем числе случаев специфику ма тематики принято видеть в необходимости и независимости ее ут верждений от опыта, интуитивном или априорном происхождении ее аксиом. В зависимости от того, какие особенности математиче-
II KapnYHU/I В. Н Формальное и диалектическоев математическомпознании.
Л., 1983. С. 24.
12 О новых аргументах в защиту априорной природы математических идеали заций см.: Пермuнов В. Я. Философии и основания математики. М., 2001.