- •7.1. Математический признак устойчивости.
- •7.2. Критерии устойчивости линейных сау.
- •7.2.1. Алгебраический критерий Гурвица
- •7.2.2. Алгебраический критерий Рауса.
- •7.2.3. Частотный критерий Михайлова.
- •7.2.4. Частотный критерий Найквиста.
- •7.2.5. Логарифмический частотный критерий.
- •7.3. Понятие об управляемости системы и ее наблюдаемости.
7.2.4. Частотный критерий Найквиста.
Критерий Найквиста – это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости САУ, замкнутой единичной обратной связью, по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы.
Для формулировки критерия рассмотрим САУ, которая в разомкнутом состоянии характеризуется передаточной функцией вида
,
где – некоторые полиномы от , причем степень знаменателя выше или равна степени числителя.
Знаменатель этого выражения является характеристическим полиномом разомкнутой САУ. Передаточная функция такой системы, охваченной 100% отрицательной обратной связи, определяется как
,
где – характеристический полином замкнутой систем.
Обратное этому выражение определяется как
.
Обозначим корни характеристического уравнения разомкнутой системы – .
Корни характеристического уравнения замкнутой системы обозначим как — .
В плоскости корней, каждый корень может быть представлен вектором, проведенным из начала координат. Если выбрать значение независимой переменной в произвольной точке комплексной плоскости, то комплексное число вида может быть представлено в виде разностного вектора, как показано на рис. 4.
Рис. 4. Графическое представление разности векторов
Если , то разностный вектор будет иметь свое начало в точке окончания вектора , а окончание – на мнимой оси. В этом случае выражение для обратной передаточной функции замкнутой САУ можно представить как
При изменении частоты от до будет скользить по мнимой оси и повернется на угол . Поворот будет происходить против часовой стрелки, если корень лежит слева от мнимой оси, и по часовой стрелке, если корень расположен в правой полуплоскости. Числитель и знаменатель этого выражения могут быть представлены как некоторые вектора, модуль которых равен произведению модулей сомножителей, а угол поворота – как сумма углов поворота векторов сомножителей. Поэтому можно записать, что
Таким образом полный угол поворота рассматриваемого вектора при изменении частоты от до равен разности углов поворота векторов и . Для САУ устойчивой в разомкнутом состоянии все корни характеристического полинома лежат в левой полуплоскости. Поэтому суммарный угол поворота вектора знаменателя при изменении частоты от до равен n .
В общем случае характеристический полином замкнутой САУ имеет корней в правой полуплоскости и корней в левой полуплоскости. Поэтому суммарный угол поворота вектора числителя при изменении частоты от до равен или . Суммарный угол поворота вектора будет определяться как
.
Для устойчивой САУ все корни характеристического полинома должны располагаться в левой полуплоскости, то есть . Следовательно суммарный угол поворота вектора устойчивой системы при рассмотренных ранее условиях равен нулю. То есть будет выполняться условие
.
При выполнении этого условия вектор будет располагаться справа от мнимой оси. Этот вектор определяется АФЧХ разомкнутой САУ, но его начало находится в точке (–1,j0). Исходя из этого, формулируется критерий устойчивости Найквиста.
Формулировка критерия. САУ устойчива в замкнутом состоянии, если годограф АФЧХ устойчивой разомкнутой системы не охватывает точки с координатами (-1, j0) на комплексной плоскости. Эта формулировка справедлива как для статических, так и астатических САУ, то есть систем, характеристическое уравнение которых содержит нулевой корень той или иной степени кратности.
На рис. 5 приведены АФЧХ устойчивых и неустойчивых САУ.
Устойчивые САУ Неустойчивые САУ
Рис. 5. АФЧХ устойчивых и неустойчивых САУ