Вопрос №4. Энергия заряженных тел

П

1.10

редположим, что первоначально незаряженный конденсатор постепенно заряжается, причем разность потенциалов между его обклад-ками увеличивается от 0 до φ₁ – φ₂ = U. При этом заряд на обкладках возрастает от 0 до q = CU. Тогда элементарная работа δА по перемещению заряда dq от отрицательно наряженной обкладки с потенциалом φ₂ к положительно заряженной до потенциала φ₁: окладки будет равна dq(φ₁ – φ₂). Поэтому запишем:

Работа, определяемая по формуле (1.10), расходуется на увеличение электриче­ской энергии заряженного конденсатора. Следовательно, его энергия:

1.11

Путем аналогичных рассуждений можно показать, что для заряженного уединен­ного проводника энергия:

1.12

Здесь С иφ — соответственно электроемкость и потенциал проводника; q—его заряд.

В общем случае заряды могут быть распределены по объему диэлектрика

(ρ =dq / dV) либо по поверхности заряженного проводника или наэлектризованного диэлек­трика (σ = dq / dS). Энергию такой системы зарядов можно определить путем интегриро­вания выражения dП = 1/2φ·dq по поверхности S (dq = σ·dS) и объему V(dq = ρdV):

1.13

Вопрос №5. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии

Энергию П, определяемую по формулам (1.11)—(1.13), можно интерпретировать как энергию W электростатического поля этой системы зарядов (W= П). Покажем это на примере плоского конденсатора. Электроем­кость такого конденсатора С = εε₀·S / d,a разность потенциалов между обкладками U=Ed (Е—напряженность поля). Подставив выражения для С и U в формулу (1.11), получим

1.14

где V=Sd — объем конденсатора; D = εε₀· E — электрическое смещение.

В формуле (1.14) энергия выражена через величины Е и D, характеризующие электростатическое поле конденсатора, и объем V, в котором сконцентрировано это поле. Следовательно, W— энергия электростатического поля в объеме V.

Поскольку поле внутри плоского конденсатора однородно (Е(х,у, z) = const), его энергия W равно­мерно распределена по объему V. Тогда объемная плотность энергии равна:

1.15

Ф

1.16

ормула (1.15) справедлива для любого, в том числе и неоднородного электри­ческого поля в изотропной среде. Поэтому для энергии бесконечно малого объема поля имеем:

Полную энергию электрического поля в объеме V определяем интегрированием:

1.17

Если существует система из N неподвижных точечных зарядов, то она обладает потенциальной энергией, равной половине суммы взаимных потенциальных энергий П_ik всевозможных пар точечных зарядов q_i и q_k (i = 1, 2, ..., N, к = 1, 2, ..., N), находя­щихся на расстоянии r_ik друг от друга (см. формулу ). Суммируя по всем значе­ниям i и j без учета энергии самовоздействия этих зарядов (самих на себя, т.е.i ≠ k ), получим:

1.18

Можно доказать, что эта энергия не имеет минимума при конечных значениях r_ik , следовательно, изолированная система неподвижных электрических зарядов не мо­жет находиться в состоянии устойчивого равновесия (теорема Ирншоу). В связи с этим устойчивые системы зарядов (атомы, молекулы, ионы) всегда являются дина­мическими системами.

Задача 3. 125 маленьких шаровой формы капелек воды, заряженных до потенциала φ относительно Земли, соединились в одну большую каплю (шаровой фрмы). Каким окажется потенциал φ₁ такой большой капли по сравнению с потенциалом φ ?

Решение: Из следует, что , где С₁ – электроемкость большой капли, q₁ – ее заряд, q – заряд маленькой капли. q₁=125q

Объем большой капли радиусом R равен 125 об’емам маленьких капель, радиус которых r, т.е. , откуда , значит R = 5r.

Электроёмкость шара пропорциональна его радиусу. Следовательно : С₁ = 5С, где С – электроемкость малой капли.

Потенциал маленькой капли : φ = q/C.

Потенциал большой капли равен:

, т.е. он увеличен по сравнению с потенциалом малой капли в 25 раз.

Задача 4. Две разноименно наэлектризованные пластины площадью 100 см² каждая притягивается друг к другу с илой равной 0,04 Н. Определить напряженность поля между пластинами, если они разделены слоем спирта. Диэлектрическая проницаемость для спирта равна 26.

Решение: сила взаимодействия пластин конденсатора , а напряженность . Возведем Е в квадрат и поделим на F.

, откуда . Подставив значения в конечную формулу получим: Е = 18,6·10⁴ (В/м).

Задача 5. Шар радиусом 25 см заряжен до потенциала 600 В и соединен проводником с землей. Сколько теплоты выделитсяв проводнике ?

Решение: при уходе заряда шара в землю совершается работа:

, где С = 4πε · ε₀ · r = 4· 3,14 · 8,85 · 10^-12 · 0,25 ≈ 2,8 · 10^-11 (Ф).

Но при этом А = Q, то высчитав по формуле, приведенной выше значение работы, определим количество теплоты.

(Дж). А = Q =5 · 10^-6 (Дж) или Q = 0,24 · 5 · 10^-6 =

=1,2· 10^-6 калл.(внесистемные единицы).

Литература:

1. И.И. Наркевич, Э.И. Волмянский, С.И.Лобко. Физика. – Мн.: 0.0.0. «Новое знание», 2004.

2. А.Н. Ремизов. Курс физики, Электроники и кибернетики. – М.: Высшая ШК., 1982.

3. П.С. Кудрявцев. Курс истории физики. – М.: Просвещение, 1974.

10