6 Теория по расчетам погрешностей

Пусть х– точное число, истинное значение величины, а– приближенное значение величины. Погрешностью, или ошибкой, а приближенного значения а называется разность между точным значением х и его приближенным значением а.

,

если х  а, то  0. В тех случаях, когда знак погрешности не интересует, точность характеризуют абсолютной погрешностью.

Абсолютной погрешностью ∆приближенного числа а называется абсолютная величина разности между точным значением x и его приближенным значением а.

∆ = |х - а|

Найти абсолютную погрешность по формуле не всегда можно, потому что неизвестно точное значение х. Однако ее можно узнать, оценив сверху абсолютную погрешность приближенного числа а, т.е. найти границу абсолютной погрешности.

Предельная абсолютная погрешность – это граница абсолютной погрешности. Следовательно, предельная абсолютная погрешность числа ∆а приближенного числа а – это положительное число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или, в крайнем случае, равной ей), т.е.

∆ = |х- а| ≥ ∆а

Отсюда следует, что точное значение х заключено в границу:

где - это приближенное значение числа х по недостатку, - по избытку. Применяют также другую форму записи

Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность являются числами именованными, они выражаются в тех же единицах, что и определяемая величина. Знать абсолютную или предельную абсолютную погрешности недостаточно для характеристики точности измерения или вычисления. К примеру, при взвешивании двух тел получены два результата:

1)а₁= 10001;

2) а₂=101 г;

а₁=а₂= 1;

Несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей точность взвешивания в первом случае больше.

Таким образом, следует учитывать величину отношения абсолютной или предельной абсолютной погрешности, называемой предельной относительной или относительной погрешностью. Относительной погрешностью приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности ∆ этого числа к модулю соответствующего точного числа х (х< 0), то есть

, тогда

 = * а;

На практике обычно имеют дело с предельной абсолютной погрешностью а, которая должна быть больше или равна. Предельной относительной погрешностью можно считать отношение а = ,

а = а =  * , а = * ;

Относительная и предельная относительная погрешности не зависят от единиц измерения величины и чаще всего выражаются в процентах [6].

7 Результаты расчета погрешностей

Исходя из теории по расчету погрешностей, найдем для ряда данных абсолютную, предельную абсолютную, предельную относительную погрешности.

Таблица 3 - Ряд данных

Vтитр мл

1,03

1,17

1,25

1,13

1,33

1,28

1,01

1,38

1,34

1,12

При абсолютной и предельной абсолютной погрешности взяли за точное значение х=1.

Рассчитаем среднее арифметическое всех измеримых значений титрования по формуле (1):

Результаты промежуточных расчетов:

Таблица 4 – результаты промежуточных результатов

номер опыта	, мл	, мл^2
1	-0,17	0,0289
2	-0,03	0,09
3	0,05	0,0025
4	-0,07	0,0049

Продолжение таблицы 4

номер опыта	, мл	, мл^2
5	0,13	0,0169
6	0,08	0,0064
7	-0,19	0,0361
8	0,18	0,0324
9	0,14	0,0196
10	-0,08	0,0064
∑	0,04	0,30

Находим среднее квадратичное отклонение среднего арифметического по формуле (2):

Определяем значение

– условие, которое показывает содержание грубых ошибок в расчете погрешностей. Анализ данных таблицы 4 показал, что грубых ошибок нет.

Найдем абсолютную погрешность  по формуле:

,

где х – точное значение;

Зная абсолютную погрешность, можно найти предельную относительную погрешность по формуле:

Предельная относительная погрешность выражается в процентах.

Зная абсолютную погрешность, можно найти границы абсолютной погрешности, т.е. предельную абсолютную погрешность:

или х = а ;

х = 1  0,2.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Ю.А.Пентин, Г.М.Курамшина. Основы молекулярной спектроскопии [Текст]: учебник для вузов / Ю.А.Пентин, Г.М.Курамшина. – М.: Мир, 2008. – 3-8 с.

2. З.Марченко, М.Бальцежак. Методы спектрофотометрии в УФ и видимой областях в неорганической анализе [Текст]: учебник для вузов / З.Марченко, М.Бальцежак. – М.: БИНОМ, 2007. – 33 с.

3. Ю.А. Пентин, Г.М. Курамшина. Основы молекулярной спектроскопии [Текст]: учебник для вузов / Ю.А.Пентин, Г.М.Курамшина. – М.: Мир, 2008. – 259-267 с.

4. Ю.А.Пентин, Г.М.Курамшина. Основы молекулярной спектроскопии [Текст]: учебник для вузов / Ю.А.Пентин, Г.М.Курамшина. – М.: Мир, 2008. – 234 с.

5. Сайт о химии. Ультрафиолетовая спектроскопия; режим доступа: http://www.xumuk.ru/encyklopedia/2/4657.html

6. Ю.Я. Харитонов. Аналитическая химия. Аналитика [Текст]: в 2-х книгах: Учебник / Ю.Я. Харитонов, – Москва: Высшая школа, 2001 - 524-528 с.

7. Ю.А.Пентин, Г.М.Курамшина. Основы молекулярной спектроскопии [Текст]: Учебник для вузов / Ю.А.Пентин, Г.М.Курамшина. – М.: Мир, 2008. – 34 с.

8. Тетраметилтетразен Электронный ресурс / Режим доступа: http://toxi.dyndns.org/base/gidrazin/gidrazin1/Tetrametiltetrazen.htm;

9. СТО 01. 04 – 2005. Стандарт организации. Работы студентов. Общие требования и правила оформления Текст: 2006 – Архангельск.

10. С. В. Брановицкая. Вычислительные методы в химии и химической технологии Текст: Высшая школа / С. В. Брановицкая, Р.Б. Медведев, Ю.Я. Фиалков. – М.: 1986 – 216 с.