- •1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Приложения определенного интеграла.
- •3. Несобственные интегралы.
- •4. Понятие функции нескольких переменных. Область существования функции двух переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных.
- •5. Понятие частной производной. Геометрический смысл частных производных. Якобиан.
- •7. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции многих переменных.
- •8. Необходимое и достаточное условия существования максимума и минимума функции многих переменных.
- •9. Двойные интегралы. Основные свойства.
- •10. Вычисление двойного интеграла.
- •11.Замена переменных.
- •12. Тройные интегралы. Основные свойства.
- •13. Вычисление тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле.
- •14. Криволинейные интегралы первого рода. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
- •15. Криволинейные интегралы второго рода. Вычисление криволинейного интеграла второго рода
- •16. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
- •17. Поверхностные интегралы первого рода. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
- •18. Поверхностные интегралы второго рода. Вычисление поверхностного интеграла второго рода. Связь поверхностных интегралов I и II рода.
- •19. Формула Остроградского- Гаусса. Формула Стокса.
- •20. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.
- •21. Векторное поле. Дивергенция, ротор и циркуляция.
- •22.Оператор Гамильтона.
- •23. Специальные векторные поля (потенциальное, соленоидальное)
- •24. Разложение произвольного векторного поля.
- •Вопросы к экзамену по математике
- •Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Приложения определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Если существует предел , причем этот предел не зависит ни от , ни от , то функция называется интегрируемой на отрезке , а сам предел называется интегралом Римана по отрезку и обозначается
или
где – любая первообразная функции
2. Приложения определенного интеграла.
Интеграл Римана по отрезку был нами введен как площадь криволинейной трапеции. Понятие площади неотделимо от понятия интеграла. С его помощью можно вычислять площади любых плоских областей, а также длины дуг, площади поверхностей и объемы тел.
1.Вычислить площадь области, расположенной между двумя кривыми и и над отрезком , причем .
Очевидно, что площадь области между кривыми равна разности площадей соответствующих криволинейных трапеций, поэтому
.
2. Вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами (в полярных координатах) и , а также заданной в полярных координатах кривой . Мы получим предел интегральных сумм – интеграл ,который совпадает с площадью исходного криволинейного сектора.
3.Вычислить длину дуги кривой . Длиной дуги кривой мы будем называть предельную сумму длин вписанных в дугу хорд при стремлении этих хорд к точкам.
При стремлении длины наименьшего из отрезков разбиения к нулю мы получим из суммы интеграл: , который и дает выражение длины дуги данной кривой.
4. Вычислить длину дуги пространственной кривой, заданной параметрически в виде
для вычисления ее длины применяют формулу
3. Несобственные интегралы.
или . Приведенные интегралы называются несобственными интегралами по бесконечному промежутку и определяются они при помощи интегралов Римана по конечным отрезкам следующим образом.
Пусть функция интегрируема на любом конечном отрезке , . То есть для любого существует . Если существует конечный предел , то такой предел обозначают и говорят, что этот несобственный интеграл сходится. Если предел бесконечен или не существует, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится.
4. Понятие функции нескольких переменных. Область существования функции двух переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных.
Число z0 называется пределом функции многих переменных, т.е.
если для любого существует такое значение , что для любых точек , таких что , выполняется неравенство
В случае функций двух переменных для вычисления предела в точке удобно переходить к полярным координатам в окрестности этой точки.
функция многих переменных называется непрерывной в точке , если точка входит в область определения функции и
Из определения предела функции многих переменных следует, что в случае, когда функция непрерывна в точке , для любого существует такое значение , что для любых точек , таких что , выполняется неравенство Таким образом, малым приращениям аргумента (в смысле расстояния в пространстве ) у функции, непрерывной в точке, соответствуют малые приращения функции.
Как и в случае функций одной переменной, арифметические действия над непрерывными функциями не выводят из класса непрерывных функций, если нет деления на 0.