14Схема Бернулли
Под
схемой Бернулли понимают конечную
серию повторных независимых испытаний
с двумя исходами. Вероятность появления
(удачи) одного исхода при одном испытании
обозначают
, а непоявления (неудачи) его
.
Я. Бернулли установил, что вероятность
ровно успехов в серии из
повторных независимых испытаний
вычисляется по следующей формуле:
То
значение ,
при котором число
является максимальным из множества
{
},
называется наивероятнейшим, и оно
удовлетворяет условию
np
- q
m
np+ p,
Формулу
Бернулли можно обобщить на случай,
когда при каждом испытании происходит
одно и только одно из
событий с вероятностью
( . Вероятность появления
раз первого события и
- второго и
-го
находится по формуле
При достаточно большой серии испытаний формула Бернулли становится трудно применимой, и в этих случаях используют приближенные формулы. Одну из них можно получить из предельной теоремы Пуассона:
15Теоремы Муавра-Лапласа
Пусть
в каждом из n
независимых испытаний событие A может
произойти с вероятностью p
,
(условия схемы Бернулли). Обозначим как
и раньше, через
вероятность ровно
появлений события А в
испытаниях. кроме того, пусть
– вероятность того, что число появлений
события А находится между
и
Локальная теорема Лапласа.
Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то
где
-
функция Гаусса (функция табулирована,
таблицу можно скачать на странице
формул по теории вероятностей).
Интегральная теорема Лапласа.
Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то
P(n;
k1, k2)
где
- функция Лапласа (функция табулирована,
таблицу можно скачать на странице
формул по теории вероятностей).
Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:
а)
б)
при больших
верно .
Теоремы
Лапласа дают удовлетворительное
приближение при . Причем чем ближе
значения
к 0,5, тем точнее данные формулы. При
маленьких или больших значениях
вероятности (близких к 0 или 1) формула
дает большую погрешность (по сравнению
с исходной формулой Бернулли).
16 Дискретная случайная величина и закон ее распределения
Реальное
содержание понятия «случайная величина»
может быть выражено с помощью такого
определения: случайной величиной,
связанной с данным опытом, называется
величина, которая при каждом осуществлении
этого опыта принимает то или иное
числовое значение, причем заранее
неизвестно, какое именно. Случайные
величины будем обозначать буквами
Определение.
Говорят, что задана дискретная случайная
величина
,
если указано конечное или счетное
множество чисел
и
каждому из этих чисел
поставлено в соответствие некоторое
положительное число
, причем
Числа
называются возможными значениями
случайной величины
,
а числа
- вероятностями этих значений (
).
Таблица
называется законом распределения дискретной случайной величины .
Для
наглядности закон распределения
дискретной случайной величины изображают
графически, для чего в прямоугольной
системе координат строят точки
и соединяют последовательно отрезками
прямых. Получающаяся при этом ломаная
линия называется многоугольником
распределения случайной величины