Уравнения движения газа в канале сложной геометрии. Методы решения. Критерии подобия
1. 2. Математическая модель течения газа в канале сложной геометрии.
Рассмотрим двумерное стационарное движение газа в канале заданной формы, которое описывается уравнениями неразрывности, импульсов и энергии [50], [85].
Уравнение неразрывности:
(1)
(для
установившихся течений)
Уравнение импульсов в форме Лэмба-Громеки:
(2)
Уравнение энергии:
(3)
Спроектируем
уравнение импульсов на линию тока, т.е.
умножим скалярно на dx=
dt,
тогда вдоль линии тока будем иметь
(4)
Здесь используются общепринятые обозначения:
-
плотность, давление, скорость и энтропия
газового потока.
Пусть
на линии тока L
плотность
и давление связаны зависимостью
,
тогда в области непрерывности движения
уравнение (4) можно проинтегрировать и
получить
(5)
Если
Р
(L)=const,
то интеграл Бернулли (5) дает связь между
скоростью и давлением во всей области
газа.
Уравнение энергии (3) для адиабатических движений также дает интеграл вдоль линии тока
S(p,
)=S(L)
(6)
Постоянные в (5) и (6) могут быть разными на разных линиях тока. Соотношение (6) позволяет вычислить интеграл (5), так как дает необходимую связь . Если использовать термодинамическое равенство dh=dp/ (h- энтальпия) для адиабатических течений, то (5) можно записать в виде
(7)
Таким образом, вдоль линий тока установившихся непрерывных адиабатических течений сохраняются энтропия и полное теплосодержание газа.
Если
S(L) и
одинаковы на всех линиях тока, то движение
– безвихревое [85], так как
.
Будем рассматривать плоские и осесимметричные незакрученные течения, все параметры которых зависят от х и у.
Уравнение неразрывности запишем в виде
div( )=0 (8)
В произвольной ортогональной системе координат для двумерного движения уравнение (8) выглядит так:
(9)
(
=1
для плоских,
=2
для осесимметричных движений.)
Это уравнение можно рассматривать как условие существования полного дифференциала функции
(10)
Функция
(х,у)
- функция тока, ее производные определяются
выражениями
(11)
Соотношение (11) определяет функцию тока любого течения с точностью до аддитивной постоянной; сохраняет постоянное значение вдоль линий тока
Расход газа между двумя линиями тока равен разности значений функции тока на этих линиях.
Будем рассматривать потенциальные течения, т.е.
,
,
что означает одновременно отсутствие вихря в течении.
Из (11) найдем u и v
;
Тогда, используя условие потенциальности течения, получим
+
=0
(12)
уравнение типа уравнения Лапласа, с переменными коэффициентами.
Граничные
условия сформулируем, пользуясь
представлениями о расходе газа через
канал, имеющий поворот и разветвление
(рис.1). Обычно задается расход через
входное сечение и расходы через две
другие ветви -
.
Эти параметры определяют значения
на верхней и нижней стенках и на
перегородке.
Между расходами выполняется очевидное соотношение:
Рис. 1. Форма канала и схема задания граничных
условий для уравнений газовой динамики.
Значения на нижней стенке можно положить равным нулю, на верхней - единице, тогда на перегородке =1/(n+1). На стенках канала выставляется условие непротекания, т.е. сохранение значения . Задать распределение функции на входе в канал и в выходных сечениях можно произвольным образом, например, по линейному закону.
Решая
задачу (12) с заданными значениями
(х,у)
известными численными методами, например
[12,33] находим распределение u(х,у),
v(х,у) и
.
Используя уравнение Бернулли и
изэнтропичность течения, находим
(13)
где
,
-const,
определяемые параметрами торможения
газа на входе,
- отношение теплоемкостей совершенного
газа.
Далее организуется итерационная процедура: по новому (13) распределению (х,у) пересчитывается поле , а также u, v и снова определяется (х,у). Обычно достаточно 4-6 итераций для определения поля скоростей u(х,у), v(х,у), давления p(х,у) и плотности (х,у) с требуемой точностью.
Полученное потенциальное течение служит фоном, на котором рассматривается движение твердых частиц, а также оно может быть использовано
для определения течения в пограничных слоях на стенках для расчета потерь полного давления;
в качестве начального приближения для решения задачи о нестационарном течении.
Нестационарное
течение также может представлять интерес
в некоторых приложениях или использоваться
для получения стационарного решения
при
при других граничных условиях.
Для получения решения методом установления уравнения газовой динамики записываются в форме законов сохранения
В декартовой системе координат уравнения газовой динамики имеют вид:
(14)
Здесь U(u,v) - вектор скорости движения газа с компонентами u, v,
, - внутренняя энергия газа,
- его плотность, p - давление; x, y - декартовы координаты, t – время,
- для осесимметричного случая,
для плоского случая - .
Здесь
- полная энергия единицы объема,
- внутренняя энергия единицы массы газа,
определяемая уравнением состояния. Для
совершенного газа
.
Система уравнений (14) решается методом установления по времени, подробно описанном в монографии [25].
Для
удобства дальнейшего использования
уравнений (12), (13) введем безразмерные
переменные. Будем считать заданным
характерный линейный размер канала L,
расход газа
,
а также параметры торможения газа -
плотность
и энтальпию
.
Тогда, помечая безразмерные переменные
звездочками, получим
,
,
,
,
,
,
(15)
В безразмерных переменных уравнения (13) примут вид
(16)
,
Уравнение
(12) в безразмерных переменных сохраняет
свой вид. Безразмерный параметр
является критерием подобия течения. Он
аналогичен приведенной скорости.
Если
при обезразмеривании уравнений (14)
ввести те же переменные (15), а безразмерное
время принять равным
,
то уравнения (14) в новых переменных
сохранят свой вид.