5.4. Условие приведения плоской системы сил к одной паре

Если геометрическая сумма сил данной плоской системы равна нулю, т.е. если силовой многоугольник оказывается замкнутым, то главный вектор R' этой системы будет равен нулю. Следовательно приводя данную систему к какому-нибудь центру О, получим только одну пару с моментом

Равнодействующей в этом случае не существует. Главный момент остается в этом случае неизменным, к какому бы центру мы ни приводили данную систему сил: , так как R'=0 и, следовательно, .

Это значит приводя данную систему сил к двум различным центрам О и О₁, получим две пары с равными моментами М_О и М_О1. Следовательно, эти пары будут эквивалентны, так как каждая из этих пар эквивалентна данной системе сил.

Если главный вектор данной системы сил равен нулю, а ее главный момент относительно какого-нибудь центра не равен нулю, то эта система эквивалентна паре сил, причем главный момент системы в этом случае не зависит от выбора центра приведения.

5.5. Условия равновесия плоской системы сил

Если главный вектор R' данной плоской системы сил не равен нулю, то система приводится к одной равнодействующей силе. Если R'=0, а главный момент системы М_О не равен нулю, то система приводится к паре сил. В обоих случаях твердое тело данной системы сил не будет находиться в равновесии. Поэтому для равновесия плоской системы сил необходимо выполнение условий:

R'=0 и М_О=0. Эти условия являются необходимыми и достаточными для равновесия твердого тела под действием плоской системы сил.

Из равенства R'=0 следует, что все силы F'₁, F'₂, …, F'_n, равные данным силам F₁, F₂, …, F_n и приложенные в центре приведения О, уравновешиваются.

Из равенства М_О=0 следует, что сумма моментов присоединенных пар (F₁,F₁''), (F₂,F₂''), …, (F_n,F_n'') равна нулю, а это значит, что эти пары уравновешиваются. Таким образом:

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы и ее главный момент относительно произвольно выбранного центра равнялись нулю.

Так как модули главного вектора и главного момента равны:

и , то они обращаются в ноль в том и только том случае, если имеют место равенства:

, и

Т.е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил этой системы на каждую из двух произвольно выбранных координатных осей равнялись нулю, и чтобы сумма их моментов относительно произвольно выбранной точки также равнялась нулю.

При этом предполагается, что эти две координатные оси и эта произвольно выбранная точка лежат в той же плоскости, в которой расположены линии действия сил рассматриваемой плоской системы.

5.6. Статически неопределимые задачи

В общем случае при равновесии плоской системы сил, приложенных к данному твердому телу, существует три уравнения равновесия. В случае действия системы параллельных сил (одномерный случай), существует два уравнения. Следовательно, в двухмерном случае (система сил на плоскости) задача статически определенная, если число неизвестных сил не превышает трех, в одномерном случае (система параллельных сил) число неизвестных сил не должно превышать две силы. В противном случае (если число неизвестных сил больше числа уравнений равновесия) задача становится статически неопределенной.

Причина этой неопределенности, т.е. недостаточности уравнений статики для определения искомых величин, заключается в том, что в статике твердого тела мы рассматриваем тела как абсолютно твердые, недеформируемые. В действительности в твердом теле под действием приложенных к нему сил возникают деформации. Статически неопределенные задачи могут быть решены, если принять во внимание упругие свойства тела и возникающие в нем деформации. Такие задачи рассматриваются в курсах сопротивления материалов и теории упругости.