7.3. Момент силы относительно точки как вектор

Из теоремы Вариньона известно, что моменты сил, лежащих в одной плоскости, складываются алгебраически. Также алгебраически складываются моменты пар, расположенных в одной плоскости. Говоря о приведении плоской системы сил к данному центру, при переносе точки приложения силы F в какую-нибудь точку О, не лежащую на линии действия силы (рис.7.5), получается присоединенная пара (F, F''), причем

Рис.7.5.

В этом равенстве под моментом пары и моментом силы относительно точки О, мы понимали алгебраические значения момента присоединенной пары и момента силы F относительно точки О. Но в случае, когда пары лежат в пересекающихся плоскостях, их моменты складываются по правилу векторного, или геометрического сложения, и в этом случае приходится рассматривать момент пары как векторную величину. Поэтому, при изучении произвольной системы сил, момент силы относительно данной точки следует рассматривать как вектор.

Поэтому при изучении произвольной системы сил мы будем рассматривать момент силы относительно какой-нибудь точки как вектор, равный вектору моменту той присоединенной пары, которую получим, перенося данную силу в эту точку.

Зная, как определяются модуль и направление вектора-момента пары, можно дать определение момента силы относительно точки:

1. Модуль момента силы F относительно точки О равен произведению модуля этой силы на длину перпендикуляра h, опущенного из точки О на линию действия силы и численно равен удвоенной площади треугольника ОАВ, который получится при соединении начало и конца силы F с точкой О (рис.7.5)

2. Момент силы F относительно точки О направлен по перпендикуляру к плоскости, в которой лежит вектор F и точка О, притом в ту сторону, чтобы смотря с конца вектора-момента на силу F, мы видели эту силу, направленной против движения часовой стрелки относительно точки О (рис.7.6)

Вектор m_О есть вектор момент силы F относительно точки О, равный моменту пары (F, F'') Начало вектора-момента силы F относительно точки О совпадает с этой точкой.

Рис.7.6.

Когда сила F и точка О даны, вектор m_О вполне определен, поэтому при построении этого вектора не надо переносить силу F в точку О и рассматривать присоединенную пару. Понятно, что с изменением положения точки О вектор m_О изменяется по модулю и направлению, за исключением случая, когда точка О перемещается по прямой параллельной линии действия силы F. Т.е. модуль и направление момента силы относительно точки зависят не только от этой силы, но и от положения этой точки.

При переносе точки приложения силы F в любую точку тела по линии действия этой силы вектор момента силы m_О не изменяется.

7.4. Зависимость между моментами силы относительно данной точки и относительно данной оси, проходящей через эту точку

Проекция вектора момента силы относительно данной точки на какую-нибудь ось, проходящую через эту точку, равна моменту силы относительно этой оси.

Пусть дана сила F, изображаемая вектором , и какая-нибудь точка О. построим момент m_О этой силы относительно точки О (рис.7.7). Он перпендикулярен к плоскости треугольника ОАВ и по модулю равен его удвоенной площади:

Рис.7.7.

Проведем через точку О ось z и составим момент силы F относительно этой оси. Спроектируем силу F на плоскость, проходящую через точку О и перпендикулярную к оси z. Тогда . Треугольник Оав является проекцией треугольника ОАВ на данную плоскость. Площадь проекции равна площади проектируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью этой фигуры и плоскостью проекции. Угол между плоскостями ОАВ и Оав равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям, т.е. между вектором m_О и осью z. Поэтому, обозначив этот угол через γ, получим: Откуда:

С другой стороны, проекция вектора m_О на ось z равна:

Отсюда следует, что

Аналогично, можно показать, что эти выводы верны для любой из координатных осей. На основании доказанной теоремы можно найти модуль и направление момента данной силы относительно начала координат по его проекциям.