11.4. Ускорение точки в криволинейном движении

В случае криволинейного движения производная скорости по времени не может полностью характеризовать изменение скорости со временем, так как скорость в этом случае изменяется не только по модулю, но и по направлению.

Ускорение точки в криволинейном движении выражается векторной производной от скорости по времени.

Т.о. ускорение точки в криволинейном движении есть вектор, который строится следующим образом: пусть в момент t движущаяся точка занимает на траектории положение М (рис.11.5) и имеет скорость v.

Рис.11.5.

Пусть через малый промежуток времени Δt, т.е. в момент t+ Δt, эта точка займет положение М' и достигнет скорости v'. Перенесем начало вектора v' в точку М и соединим конец вектора v' с концом вектора v и дополним полученный треугольник до параллелограмма. Тогда вектор представит собой векторное изменение скорости за время Δt, так как .

Построим вектор , равный отношению изменения скорости к соответствующему промежутку времени Δt:

Этот вектор называется средним ускорением точки за время Δt.

Так как при делении вектора на положительную скалярную величину Δt его направление не изменяется, то направление среднего ускорения совпадает с направлением вектора .

Предел, к которому стремится среднее ускорение при Δt→0, называется ускорением точки в данный момент t. Мы будем обозначать ускорение через .

Следовательно, .

Пусть на рис.11.5 а вектор есть вектор, к которому стремится в пределе при среднее ускорение , тогда .

Если проведем из какой-нибудь неподвижной точки О векторы и т.д. (рис.11.5 б), равные скоростям v, v' и т.д. движущейся точки М в различные моменты времени, то геометрическое место концов этих векторов представляет собой годограф вектора v, или годограф скорости. Согласно определению векторной производной, ускорение точки М параллельно касательной к годографу скорости в соответствующей точке m.

11.5. Определение скорости и ускорения из уравнений движения точки в декартовых координатах

Пусть движение точки определяется уравнениями:

Требуется найти ее скорость и ускорение. Для этого найдем проекции скорости и ускорения на координатные оси. Скорость движущейся точки равна векторной производной от радиуса вектора этой точки по времени:

Отсюда на основании теоремы о проекции производной от данного вектора на ось, известно, что проекции скорости на координатные оси равны производным от проекций радиуса вектора на те же оси. Но проекции радиуса вектора на координатные оси представляют собой координаты движущейся точки. Следовательно, проекции скорости выражаются следующим образом:

Проекции скорости на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат движущейся точки по времени.

Эти производные находятся из уравнений движения точки по времени. Для модуля скорости получаем следующую формулу:

Чтобы определить направление вектора v, нужно найти его направляющие косинусы. Из равенств:

получим:

Аналогично можно найти модуль и направление ускорения . Из равенства следует, что проекция ускорения на какую-нибудь неподвижную ось равна производной по времени от проекции скорости на ту же ось. Следовательно,

Т.е. проекции ускорения на координатные оси равны вторым производным от соответствующих координат движущейся точки по времени.

Отсюда для модуля и направляющих косинусов вектора получим следующие формулы: