10.3. Скорость точки при неравномерном движении

Пусть точка движется по оси х, по закону . Пусть произвольная нелинейная функция. График движения в этом случае будет изображаться некоторой кривой линией. Такое движение называют неравномерным.

При неравномерном движении отношение пройденного пути к соответствующему промежутку времени не является постоянной величиной, следовательно, расстояния проходимые точкой за одинаковые промежутки времени не равны между собой.

Если составить отношение пути S, пройденного точкой при неравномерном движении, ко времени t, в течение которого этот путь пройден, то это отношение дает нам среднюю скорость за данный промежуток времени t или на данном пути S. Среднюю скорость будем обозначать через v*, следовательно:

Средняя скорость характеризует быстроту движения за некоторый данный промежуток времени, но не дает представления о быстроте движения точки в отдельные моменты этого промежутка времени. Поэтому, кроме средней скорости, необходимо определять мгновенную скорость или скорость точки в данный момент. Пусть в данный момент t точка занимает на траектории положение М (рис.10.4).

Рис.10.4.

Через некоторый весьма малый промежуток времени Δt, т.е. в момент времени t+Δt, точка займет положение М'. Расстояние ОМ' обозначим через х', причем . Путь пройденный точкой за время Δt будет равен отрезку ММ', причем

Следовательно, средняя скорость за время Δt будет равна .

Предел, к которому стремится средняя скорость , когда промежуток времени Δt стремится к нулю, называется скоростью точки в данный момент t:

Скорость точки в прямолинейном движении равна производной от абсциссы движущейся точки по времени.

Если производная положительна, то х с течением времени возрастает и движение происходит в положительном направлении оси х. Если производная при данном значении t отрицательно, то х с течением времени убывает и точка движется по оси х в отрицательном направлении.

Таким образом, определение скорости при неравномерном движении, закон которого известен, сводится к дифференцированию известной функции .

Ту же задачу можно решить и графическим путем. Пусть нам дан график движения, изображаемый некоторой кривой линией, уравнение которой есть (рис.10.5)

Рис.10.5

Найдем скорость движущейся точки в некоторый момент времени t. Возьмем на данной кривой точку А, абсцисса которой имеет заданную величину t, и проведем через эту точку касательную к этой кривой. Угол касательной с осью времени обозначим через α. Так как производная от функции равна тангенсу угла наклона касательной с осью абсцисс, то .

Скорость точки при неравномерном движении численно равна тангенсу угла, между касательной к графику движения и осью времени.

Этот результат верен лишь в том случае, когда на графике движения величины х и t изображаются в одинаковом масштабе. При разных масштабах будем иметь ту же формулу, что и в случае равномерного движения

Скорость точки при неравномерном движении, определяемая по формуле представляет собой переменную величину, являющуюся функцией времени. Если изобразить функциональную зависимость между v и t графически, в виде соответствующей кривой, то эта кривая называется графиком скорости или кривой скоростей. Для построения графика скорости в прямоугольных координатах по оси абсцисс откладывают значения времени t, а на оси ординат - значения скорости v. Задавая переменному времени t в уравнении числовые значения и вычисляя соответствующие значения скорости v, строится график скорости. График скорости равномерного движения изображается прямой линией, параллельной оси времени.