15.3. Скорости точек плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей и мгновенный центр вращения фигуры

Зная скорость поступательного движения и угловую скорость ω вращательного движения, можно определить скорость любой точки М фигуры (рис.15.4)

Рис.15.4.

Скорость точки М на основании теоремы о сложении скоростей будет равна векторной сумме скоростей, которые точка М имеет в каждом из этих двух движений – переносном и относительном. Переносное движение поступательное, поэтому переносная скорость любой точки фигуры равна , а скорость точки М во вращательном (относительном) движении, которую обозначим через , перпендикулярна к радиусу вращения r=О'М и равна по модулю rω, в дальнейшем под ω будем понимать абсолютное значение угловой скорости . Следовательно, диагональ параллелограмма, построенного на этих двух скоростях, определяет по модулю и направлению искомую скорость точки М фигуры.

Скорость всякой точки М движущейся плоской фигуры равна векторной сумме двух скоростей:

1. Скорости произвольно выбранной точки О' этой фигуры

2. Скорости точки М во вращательном движении вокруг точки О'.

Точка, для которой переносная и относительная скорости равны по модулю и противоположны по направлению, имеет скорость равную нулю. Найдем эту точку (рис.15.5):

рис. 15.5.

Повернем полупрямую по , по которой направлена скорость на 90 вокруг точки О' в направлении вращения фигуры. Затем на этой полупрямой отложим отрезок . Отрезок равный отношению переносной поступательной скорости к угловой скорости фигуры. Тогда точка С будет искомой точкой. В самом деле, абсолютная скорость точки С равна векторной сумме переносной скорости и относительной скорости во вращательном движении вокруг точки О'. Вращательная скорость перпендикулярна к О'С и по модулю равна . Как видно из рисунка 15.5 эти две скорости направлены по одной прямой в противоположные стороны, поэтому модуль абсолютной скорости точки С равен их алгебраической сумме:

Таким образом, скорость точки С фигуры в данный момент равна нулю. Эта точка С называется мгновенным центром скоростей.

При разложении движения плоской фигуры на поступательное и вращательное точку О' можно выбрать произвольно. Если при разложении мы вместо точки О' выберем точку С, то для скорости любой точки М фигуры будем иметь:

где обозначает скорость точки М во вращательном движении фигуры вокруг точки С. Но , поэтому , т.е скорость любой точки фигуры в данный момент равна по модулю и направлению той скорости, которую имеет в тот же момент эта точка во вращательном движении фигуры вокруг точки С.

Угловая скорость фигуры не зависит от выбора точки О', поэтому угловая скорость фигуры в ее вращении вокруг центра С равна той же угловой скорости ω, с которой фигура вращается вокруг точки О'.

При движении плоской фигуры в ее плоскости в каждый данный момент имеется мгновенный центр вращения фигуры, так что скорости всех ее точек в этот момент определяются как вращательные скорости вокруг этого центра.

Положение мгновенного центра вращения не остается неизменным на неподвижной плоскости, по которой перемещается фигура, так же как и положение мгновенного центра скоростей на плоскости самой движущейся фигуры.

Различным моментам времени соответствуют различные точки данной фигуры, которые являются в эти моменты центрами скоростей, т.е. различные положения мгновенного центра вращения фигуры.

Таким образом, движение плоской фигуры можно представить как непрерывный ряд последовательных вращений вокруг мгновенных центров, занимающих в разные моменты времени различные, но вполне определенные положения как на неподвижной плоскости так и на плоскости движущейся фигуры. В дальнейшем мгновенный центр скорости и совпадающий с ним в данный момент мгновенный центр вращения фигуры мы будем обозначать через .

Если положение мгновенного центра вращения в данный момент найдено и угловая скорость фигуры в этот момент известна, то скорость любой точки фигуры будет равна по модулю и направлению вращательной скорости этой точки вокруг мгновенного центра скоростей .

Например, для точек А и В движущейся фигуры рис.15.6 будем иметь:

Рис.15.6.

и , и

Отсюда следует, что

1 – мгновенный центр вращения фигуры лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в двух точках фигуры к скоростям этих точек

2 - - скорости точек движущейся фигуры по модулю пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра вращения фигуры.

Если нам известна по модулю и направлению скорость одной точки фигуры и направление скорости другой точки фигуры, то мы можем найти модуль этой второй скорости. Поэтому нельзя задавать произвольно по модулю и направлению скорости двух точек фигуры. Эти скорости находятся между собой в определенной зависимости, которая устанавливается следующей теоремой.

Теорема: Проекции скоростей двух точек фигуры на прямую, соединяющую эти точки равны между собой.

Рис.15.7.

Пусть скорости точек А и В фигуры равны и . Рассматривая движение фигуры как сложное, которое можно разложить на поступательное движение со скоростью и вращательное вокруг точки А с угловой скоростью ω, заключаем, что скорость точки В равна векторной сумме двух скоростей: скорости поступательного переносного движения и скорости этой точки В в относительном вращательном движении вокруг точки А. Если обозначим вторую скорость , то эта зависимость выразится векторным равенством

Причем скорость равна по модулю АВω и направлена перпендикулярно к АВ. Проектируя скорости и на прямую АВ и обозначая их проекции через Аа и Вb, из равенства треугольников АКа и ВLb получим, что Аа= Вb. Чтд.

Предположим, что скорости двух точек А и В плоской фигуры в данный момент параллельны, причем эти скорости образуют с прямой АВ некоторый угол α, не равный 90 рис.15.8.

Рис.15.8.

На основании теоремы о равенстве проекций этих скоростей на направление АВ, имеем: или и, следовательно,

Поэтому из равенства следует, что , или , откуда . Если рассмотрим какую-нибудь третью точку С фигуры, то ее скорость равна , где обозначает скорость точки С во вращательном движении фигуры вокруг точки А и, следовательно, , а потому .

Таким образом, скорости всех точек фигуры в данный момент равны как по модулю, так и по направлению, т.е. в данном случае мы имеем такое же распределение скоростей в движущейся плоской фигуре, как и при поступательном движении этой фигуры.

Если в точках А и В восставим перпендикуляры к скоростям этих точек, то они будут параллельны. Поэтому мгновенный центр вращения фигуры, находящийся в точке пересечения этих перпендикуляров, оказывается в данном случае бесконечно удаленным.

В тот момент, когда мгновенный центр скоростей вращения фигуры оказывается бесконечно удаленным, угловая скорость фигуры равна нулю, а скорости всех ее точек равны по модулю и имеют одно и то же направление.