18.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Пусть материальная точка М(х,у,z) массы m движется по криволинейной траектории под действием силы рис.18.2. Проекции этой силы на координатные оси инерциальной системы отсчета Охуz обозначим через .
Рис.18.2.
Если обозначим ускорение точки через , то на основании второго закона
Проектируя это векторное равенство на координатные оси, получим:
Как известно из кинематики, проекции ускорения на координатные оси выражаются так:
, ,
Откуда, получим:
, ,
Таким образом, мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка, выражающих в координатной форме второй закон динамики.
Эти уравнения, являющиеся в динамике точки основными, называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки. Если на точку действуют одновременно несколько сил, то на основании четвертого закона под нужно понимать в этом случае проекции на координатные оси равнодействующей всех этих сил.
18.3. Две основные задачи динамики точки
Первая задача. Зная движение материальной точки данной массы, найти силу, действующую на точку в этом движении в каждый данный момент времени.
Движение точки определяется кинематическими уравнениями , , , выражающими координаты движущейся точки, как известные функции времени. Требуется найти силу , действующую на эту точку. Решение получаем непосредственно из дифференциальных уравнений движения материальной точки, полученных выше:
, , , где m – масса данной точки.
Определив три проекции искомой силы , мы будем знать ее модуль и направление в каждый момент времени.
Пусть, например, точка М массы m движется по эллиптической траектории в плоскости Оху, причем движение ее задано следующими уравнениями:
,
Найти силу , действующую на эту точку (рис.18.3).
Рис.18.3.
Из данных уравнений находим:
Умножая эти уравнения на массу m, получаем проекции искомой силы:
Модуль искомой силы определится по формуле:
, где радиус вектор движущейся точки. Для определения направления вектора находим его направляющие косинусы:
,
С другой стороны, направляющие косинусы радиуса вектора r выражаются так: и . Очевидно, что направляющие косинусы векторов и отличаются только знаками, следовательно, эти векторы направлены по одной прямой в противоположные стороны. Поэтому имеем:
Это векторное равенство показывает, что в данном эллиптическом движении на точку действует притягивающая сила, пропорциональная массе точки и ее расстоянию от центра притяжения, находящегося в начале координат, т.е. в центре эллипса.
Вторая задача (обратная). Известна сила , действующая на материальную точку данной массы. Требуется найти движение этой точки, т.е. выразить ее координаты как функции времени. Решение задачи сводится к интегрированию дифференциальных уравнений движения точки, в которых известны, т.к. известна сила .
Материальная точка брошена с начальной скоростью под углом к горизонту. Найти движение этой точки под действием силы тяжести (рис.18.4)
Рис.18.4.
Пусть начало движения
В начальный момент времени имеем:
Составляя дифференциальные уравнения движения точки, получим:
, , , или, сокращая на :
, ,
Интегрируя первое уравнение, находим:
Т.е. получаем:
Т.е. проекция скорости на ось х имеет постоянное значение, следовательно, во все время движения она имеет тоже значение, какое имела в начальный момент:
Откуда
Т.е.
Но в начальный момент , следовательно,
Откуда:
Т.о. траектория точки лежит в вертикальной плоскости Оуz.
Из второго дифференциального уравнения получаем:
Или
Т.е. проекция скорости на ось х остается постоянной. Так же кА предыдущем случае находим, что
Следовательно
Интегрируя уравнение, получаем
Для определения постоянной , подставляем постоянные значения и :
Получаем решение второго уравнения:
Третье дифференциальное уравнение:
Интегрируя его, находим:
или
Для определения постоянной нужно подставить начальные значения и в полученное решение:
Следовательно:
Откуда, интегрируя еще раз, имеем:
Подставляя в полученное решение начальные значения , , находим:
Получаем уравнение искомого движения точки в плоскости Оzу в конечном виде:
и
Исключив из этих уравнений время , получим уравнение параболической траектории точки:
Т.о. произвольные постоянные, появляющиеся при интегрировании дифференциальных уравнений движения, определяются по начальным условиям, т.е. по начальным координатам движущейся точки и по проекциям ее начальной скорости на координатные оси: , , .
Отсюда следует, что для полного определения движения точки недостаточно знать только силу, действующую на точку. Необходимо еще знать начальные условия движения, т.е. начальное положение точки и ее начальную скорость . В общем случае при интегрировании дифференциальных уравнений движения точки мы получили шесть произвольных постоянных. В случае плоского движения мы имели бы четыре постоянных, которые определяются по четырем начальным значениям координат и проекций скоростей: , и .