20.3. Работа
Кинетической энергией (живой силой) движущейся материальной точки называется скалярная величина, равная .
Если точка приложения постоянной силы движется по прямой, совпадающей с линией действия силы, то работа этой силы равна произведению ее модуля на длину пути, пройденного точкой приложения силы, взятому с определенным знаком. (плюс или минус).
Т.е. .
Работа считается положительной, если направление силы совпадает с направлением движения точки. Если сила направлена в сторону противоположную движению точки, то работа считается отрицательной и будет равна .
Если точка весом Р движется прямолинейно по негладкой горизонтальной плоскости, то работа сил трения на пути будет равна:
Где - коэффициент трения.
Предположим, что модуль силы есть величина переменная. В этом случае для вычисления работы на пути разобьем этот путь на малых участков . Значения переменного модуля силы в начале каждого участка обозначим соответственно через . Величину модуля силы на каждом участке приблизительно можно считать постоянной. Поэтому элементарная работа на пути будет равна:
Взяв сумму элементарных работ и переходя к пределу сумм, получим работу переменной силы на конечном пути. В пределе сумма этих элементарных работ выразится определенным интегралом:
Для того, чтобы вычислить этот интеграл, модуль силы нужно выразить как функцию переменного .
Рассмотрим работу движущейся точки в случае криволинейного движения. Пусть точка приложения М силы , переменной по величине и направлению, описывает криволинейную траекторию. Требуется определить работу этой силы на пути . Разобьем весь путь на большое число малых участков. Пусть один из таких элементарных участков есть . Разложим силу на две составляющие и (рис.20.3), направленные соответственно по касательной и нормали к траектории в точке М.
Рис.20.3.
Тогда элементарная работа силы на пути выражается произведением , взятым, как и в случае прямолинейного движения, со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадает ли направление силы направление силы с направлением скорости точки приложения силы или эта сила направлена в сторону, противоположную направлению скорости точки.
Обозначим проекцию силы на направление скорости точки через , а угол между векторами и через φ, будем иметь:
Следовательно, элементарная работа равна:
Если угол φ острый , то элементарная работа положительна. Если этот угол тупой, то работа отрицательна, так как касательная силы направлено противоположно направлению скорости точки.
Взяв сумму элементарных работ и переходя к пределу, получим работу силы на конечном пути от М0 до М1:
Или
Работа силы на конечном пути выражается криволинейным интегралом, взятым вдоль соответствующей дуги траектории, которую описывает точка приложения силы.
Если сила во все время движения перпендикулярна к направлению скорости ее точки приложения, то работа этой силы равна нулю.
Выражение работы можно представить в виде:
Следовательно,
Выражение представляет собой элементарную работу силы за время .
Произведение есть скалярное произведение силы и скорости , а потому:
Если обозначим радиус-вектор точки М через , то
Следовательно:
Элементарная работа равна скалярному произведению силы на дифференциал радиуса-вектора точки приложения этой силы.
Если разложим векторы и по координатным осям, то получим:
Где проекции силы на эти оси, а - координаты точки М. Дифференциал радиуса-вектора будет равен:
Подставляя полученные значения и в формулу элементарной работы, и принимая во внимание, что и , получим аналитическое выражение элементарной работы:
Где представляют собой дифференциалы координат точки приложения силы, т.е.:
Теорема о работе равнодействующей силы:
Работа равнодействующей силы на некотором пути равна сумме работ составляющих сил на том же пути.
Доказательство:
Пусть к материальной точке М приложены две силы и , равнодействующая которых равна . Обозначим работы сил , и на пути соответственно через А1, А2 и А.
Проектируя векторное равенство
на направление скорости точки М, получим:
Умножая обе части этого равенства на элемент пути и интегрируя в пределах от 0 до (вдоль траектории точки М), получим: