3.5.2. Оптические свойства кристаллов.
В анизотропных средах связь между векторами электрической индукции и напряженностью электрического поля определяется выражением:
(3.5.3)
где тензор диэлектрической проницаемости:
(3.5.4)
Из закона сохранения энергии следует, что , т.е. тензор диэлектрической проницаемости симметричный, и из 9-ти его компонент – 6 независимых. Симметричность тензора позволяет привести выражения для плотности электрической энергии к такой форме, в которую будут входить лишь квадраты компонент поля (см Матвеев §39):
(3.5.5)
Т. о., существует система координат, связанная с кристаллом, в которой материальные уравнения и выражения для плотности электрической энергии приобретают простую форму:
(3.5.6)
В этой системе координат тензор диэлектрической проницаемости диагонален, при этом величины называются главными диэлектрическими проницаемостями.
Из (3.5.6) следует важный вывод, что вектора и не коллинеарны. Исключение составляет случаи, когда вектор напряженности совпадает с одной из главных осей или когда .
В изотропных средах диэлектрическая проницаемость e функция частоты (дисперсия), особенно резко она меняется вблизи полос поглощения. Так же в оптически анизотропных средах компоненты тоже меняются от частоты . Следовательно, с частотой падающего света меняются направления вектора , значения главных диэлектрических проницаемостей и направления осей . Это явление называется дисперсией осей.
По своим оптическим свойствам кристаллы делятся на три группы.
I-ая группа. Кубические кристаллы – кубическая система, когда все три выбранных взаимно-перпендикулярных направления эквивалентны:
Кристаллы оптически изотропны и эквивалентны аморфному телу.
I I-ая группа. Кристаллы, в которых можно выбрать две или более кристаллографически эквивалентных направлений, лежащих в одной плоскости. Это кристаллы тригональной (а), тетрагональной (б) и гексагональной (в) систем.
Эти плоскости перпендикулярны к оси симметрии третьего, четвертого и 6-го порядков, при этом выполняется
.
Группы I и II – одноосные кристаллы.
III группа. Кристаллы, в которых невозможно выбрать 2 кристаллографически эквивалентных направления. Это кристаллы ромбической, моноклинной и триклинной систем:
.
Это оптически двуосные кристаллы.
3.5.3. Объяснение явления двойного лучепреломления.
Пусть точка О является источником электромагнитных волн.
А ) В изотропной среде волновая поверхность представляет собой сферу, поскольку . Так как в каждой точке фронт волны задается плоскостью, касательной к волновой поверхности, а нормаль к этой поверхности определяет направление распространения волны, то в изотропной среде нормаль к волновой поверхности совпадает с направлением луча, т.е. с направлением переноса энергии электромагнитной волной.
Б ) В анизотропной среде скорость электромагнитной волны зависит от направления распространения, и в этом случае волновая поверхность не является сферой. Следовательно, нормаль к волновой поверхности , т.е. единичный вектор, определяющий направление распространения фазы волны, и вектор Пойнтинга , определяющий направление переноса энергии (направление групповой скорости или, иначе, луч), не совпадают по направлению. Если угол между векторами и равен , то скорость переноса энергии в направлении нормали определятся как .
Исходя из уравнений Максвелла, покажем, что в анизотропных средах распространяются две волны.
Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную
волну:
(3.5.7)
(3.5.8)
Запишем систему уравнений Максвелла для немагнитного диэлектрика:
(3.5.9)
Отметим, что задачу решаем в системе главных диэлектрических осей, при этом , т.к. вектор не коллинеарен вектору . Подставим уравнения плоской волны (3.5.7) и (3.5.8) в уравнения (3.5.9), при этом произведение , где c/n – фазовая скорость в направлении нормали. Производные по времени и пространственным координатам от плоской волны могут быть заменены на следующие множители:
(3.5.10)
Тогда, полагая для слабомагнитного диэлектрика , из первых двух уравнений (3.5.9) получаем, соответственно:
(3.5.11)
Отсюда видно, что . Вектор Пойнтинга , представляющий направление луча, перпендикулярен к векторам и и не совпадает по направлению с вектором , т.к. известно, что в анизотропной среде и не коллинеарны.
Итак, при распространении электромагнитной волны в анизотропной среде фазовая скорость , которая направлена по , и групповая скорость , направленная по , не совпадают по направлению между собой. Следовательно, , но не . Строго говоря, в анизотропной среде электромагнитная волна не является поперечной, т.к. есть ненулевая проекция вектора на направление распространения фазы и ненулевая проекция на .
Вектор коллинеарен , если волна распространяется вдоль одного из главных направлений в кристалле.
Итак, комбинируя уравнения (3.5.11) (подставляя второе в первое), получаем:
(3.5.12)
Умножим последнее равенство скалярно на и, учитывая, что , имеем
(3.5.13)
Далее, вспоминая что , получаем для скорости распространения волны в среде
(3.5.14)
Важная особенность: скорость электромагнитных волн зависит от направления их распространения и поляризации. Рассматривая совместно уравнения Максвелла, свойства волн в кристаллах и связь между векторами и , можно получить формулы Френеля для анизотропной среды.