3.3. Частица в потенциальной яме
Одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками
Пусть частица совершает
движение вдоль оси
.
В рассматриваемом случае потенциальная энергия частицы зависит
от одной
только координаты
,
а потенциальная функция
,
определяющая силовое поле, в котором движется частица, имеет вид:
(3.3.1)
и не зависит от времени.
Следовательно, поведение частицы должно подчиняться
стационарному уравнению Шредингера:
,
(3.3.2)
которое внутри
ямы, где
,
принимает вид:
,
(3.3.3)
или если обозначить
,
(3.3.4)
то преобразуется к уравнению
(3.3.5)
с граничными
условиями:
.
Решение уравнения (3.3.5) ищем в виде:
.
(3.3.6)
Из граничных условий находим
и
,
.
(3.3.7)
Решение уравнения (3.3.5) – собственные функции – получаем в виде:
.
(3.3.8)
При
волновая функция, описывающая частицу,
тождественно равна нулю:
,
т.е. частицы в яме нет.
Из (3.3.4) и (3.3.7) находим квантованные значения (уровни) энергии частицы – собственные значения:
.
(3.3.9)
Расстояние между соседними энергетическими уровнями определяется как
,
т.е. растет по мере увеличения номера уровня.
Постоянную
определяем из условия нормировки:
.
Итак, имеем следующие решения стационарного уравнения Шредингера для частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками:
.
(3.3.10)
Рис. 1. Энергия (а), волновая функция (б) и плотность вероятности (в):
Согласно
классическим представлениям любые
положения частицы в яме равновероятны.
Однако из рис. в,
иллюстрирующего
плотность вероятности
обнаружения частицы на различных
расстояниях от стенок ямы, следует, что
частица, например, при
,
одинаково часто бывает в левой и правой
частях ямы, однако не может быть обнаружена
в центре ямы. 
Очевидно,
что такое поведение частицы не совместимо
с представлением о траекториях.
При
частица имеет низшее значение энергии.
Его можно оценить также из соотношения
неопределенностей.
Действительно, пусть
и
,
.
Тогда
и
.
Энергетический спектр частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме можно получить и из условий квантования Бора-Зоммерфельда:
Приложение.
Решение (3.3.5) может быть представлено в виде:
.
Используя граничные условия (3.3.6), получаем
Одномерная потенциальная яма с конечными стенками
Рассмотрим одномерное движение при наличии прямоугольной потенциальной ямы, изображенной на
рисунке.
Функция удовлетворяет условиям
(3.3.11)
Поскольку
высота потенциального барьера конечна,
то рассмотрение задачи целесообразно
провести при двух соотношениях между
энергией частицы
и высотой потенциального барьера
,
а именно:
,
т.е. частица пролетает
над ямой. Такая частица имеет непрерывный
энергетический спектр.
,
т.е. энергия частицы меньше высоты стенок
потенциальной ямы.
Итак, пусть полная энергия частицы .
1) внутри ямы,
,
,
уравнение Шредингера
приводится к виду:
где
.
(3.3.12)
.
(3.3.13)
2) вне ямы,
,
,
уравнение Шредингера
приводится к виду:
,
где
;
(3.3.14)
(3.3.15)
Общее
решение имеет осцилляторный характер
во внутренней области (
)
и, чтобы быть приемлемым в качестве
собственной функции, решение должно
экспоненциально затухать в обеих внешних
областях (
).
Четность.
При работе с волновым уравнением Шредингера интерес представляют его однозначные и конечные решения – собственные функции уравнения. Оказывается, что эти функции обладают определенной симметрией относительно зеркального отражения осей координат, если гамильтониан симметричен относительно этого преобразования.
Из
математики известно, что функция
четная,
если выполняется
,
и нечетная, если
.
Предположим,
что функция
четная, т.е. выполняется условие
.
(3.3.16)
Тогда при изменении знака координаты уравнение Шредингера
(3.3.17)
не изменяется.
Другими словами, если потенциал – четная
функция, то гамильтониан в уравнении
Шредингера также инвариантен относительно
замены
на
,
т.е. симметричен относительно начала
координат:
.
(3.3.18)
Отсюда следует
важный вывод: если
есть некоторое решение уравнения
Шредингера, то
тоже есть решение, совпадающее с
с точностью до постоянного множителя:
.
Меняя знак
ещё раз, получаем
,
откуда
.
Таким образом, при
симметричном относительно начала
координат (точки
)
потенциале
волновые функции стационарных состояний
могут быть либо четными:
,
либо нечетными:
Иными словами свойство четности потенциала относительно начала координат
,
определяет тот факт, что собственные функции также обладают определенной четностью.
Из инвариантности
рассматриваемого гамильтониана
относительно замены
на
следует, что
и
,
также четная функция
и нечетная функция
– все являются собственными функциями
одного собственного значения
,
причем, по крайней мере, одна из двух
последних функций не равна тождественно
нулю.
Возможны два случая.
Собственное значение не вырождено.
Это означает, что четыре упомянутых функции равны друг другу с точностью до постоянных множителей.
Функция пропорциональна той из функций или , которая не равна тождественно нулю (другая необходимо есть тождественный нуль). Т.о., собственные функции невырожденной части спектра имеют определенную четность: одни – четные, другие – нечетные.
Кроме того, четная функция обязательно имеет четное число узлов, нечетная функция – нечетное число узлов. Следовательно, если располагать собственные функции по порядку возрастания собственных энергий, то четные и нечетные функции чередуются, причем функция основного состояния всегда четная (см. рис.1).
Собственное значение вырождено.
В этом случае все функции могут быть представлены линейными комбинациями вида:
,
где
и
две линейно независимые собственные
функции.
Предположим,
что хотя бы одна из этих функций, например
,
не имеет определенной четности. При
этом условии ни одна из функций
и
не обращается тождественно в нуль.
Эти две функции
противоположной четности обязательно
линейно независимы и являются собственными
функциями одного собственного значения
.
Поэтому можно выразить функции
,
и, следовательно,
в виде линейной комбинации функций
и
.
Т.о., всегда можно выразить собственные
функции вырожденного собственного
значения в виде линейной комбинации
двух функций, имеющих определенную
четность.
Простое исследование показывает, что собственные значения непрерывного спектра всегда двукратно вырождены и каждому из них соответствует одна собственная четная функция (производная функции равна нулю в начале координат) и одна собственная нечетная функция (функция равна нулю в начале координат).
Согласно правилам
квантовой механики вводится оператор
четности:
;
,
следовательно, собственными значениями
оператора
являются
и
;
значению
соответствуют четные функции, а значению
нечетные функции.
Легко убедиться, что оператор четности коммутирует с гамильтонианом:
,
т.е. получаем, что четность и энергия одновременно измеримы.
Свойство, называемое четностью, имеет самый общий характер. Можно доказать, что пока гамильтониан симметричен относительно пространственных отражений, четность собственных функций не меняется со временем, т.е., если волновая функция имела некоторую четность в заданный начальный момент времени, то она будет сохранять эту четность и в дальнейшем.
Говорят, что четность сохраняется.
Заметим, что, хотя обычно четность сохраняется, существуют некоторые процессы слабых взаимодействий, которые описываются несимметричными гамильтонианами, так что четность не сохраняется.
Нечетные состояния:
при этом
- глубина проникновения частицы под
барьер.
Из
условия непрерывности волновой функции
и ее производной на границе
(функции
и
и их производные должны “сшиваться”
на границах области) следует
То же
самое уравнение получим в силу симметрии
из граничного условия при
.
Обозначим
.
(*)
Тогда
где введен параметр мощности ямы:
.
(**)
Итак, приходим к
трансцендентному уравнению относительно
переменной
,
которое можно решить численно или графически.
Графическое решение:
Чем больше
мощность ямы
,
тем больше корней уравнения - больше
уровней энергии. Уменьшение
приводит к уменьшению числа корней.
При
,
т.е. при следующих значениях
корней, соответствующих нечетным состояниям, нет.
При
этом напомним, что t0
= 0 и
E0
= 0 не являются корнями,
т.к. при этом решение внутри ямы
,
которое не удовлетворяет граничным
условиям.
Итак, нечетные состояния системы:
– в яме нет состояний
– одно нечетное
состояние
два
нечетных
состояния
и т.д.
Четные состояния:
При условие непрерывности волновой функции на краях ямы:
В силу симметрии то же уравнение дают граничные условия при .
Проводя преобразования, аналогичные тем, что были выполнены при рассмотрении нечетных состояний, получаем уравнение:
Графическое решение:
Получаем, что хоть одно решение есть всегда.
При
одно четное
решение
При
два четных
решения
и т.д.
В “мелкой” яме
достаточно просто найти энергию
единственного четного состояния системы.
.
Из (*) и (**) получаем
Тогда, учитывая (!),
,
откуда следует, что уровень лежит вблизи “верха” ямы.
С ростом глубины
и ширины
ямы растут мощность ямы и число уровней.
Когда мощность ямы проходит через очередное значение
,
в яме появляется новое состояние с энергией вблизи .
Как уже отмечалось, в одномерной яме всегда есть хотя бы один уровень (состояние).
Для трехмерной ямы это условие не выполняется – дискретный уровень энергии существует не всегда. Возможность его существования определяется мощностью потенциальной ямы: при малых мощностях частица как бы “не влезает ” в неё.
Итак, полная волновая функция, описывающая движение частицы, записывается в виде:
Коэффициенты
и
определяются из граничных условий и
условия нормировки.
Рассмотрение поведения волновой функции приводит к важному результату: частица может некоторое время существовать в классически запретной зоне, где U0 > E.
Атом водорода.
В нерелятивистском приближении стационарные состояния атома определяются уравнением Шредингера для системы электронов, движущихся в кулоновском поле ядра и электрически взаимодействующих друг с другом.
В то же время единственным атомом, для которого уравнение Шредингера может быть решено точно, является простейший из всех атомов – атом водорода.
Задача о движении двух взаимодействующих частиц в квантовой механике аналогично тому, как это делалось в классической механике, сводится к решению задачи о движении одной частицы в поле центральных сил.
В
центральном
(или центрально-симметричном)
поле потенциальная энергия взаимодействия
зависит только от модуля разности
координат взаимодействующих частиц.
Уравнение Шредингера движения частицы в центрально-симметричном поле имеет вид:
.
В атоме водорода электрон обладает потенциальной энергией
,
где
координата
электрона, отсчитываемая от центра
поля, т.е. от ядра.
Можно несколько
расширить класс рассматриваемых решений,
если ввести в рассмотрение так называемый
водородоподобный атом с зарядом ядра
.
Тогда уравнение Шредингера запишется
в виде:
.
(*)
Поскольку задача обладает сферической симметрией, то для её решения воспользуемся выражением для оператора Лапласа в сферических координатах:
.
Т.о., мы приходим к
уравнению (*) относительно трех переменных:
.
Попытаемся разделить переменные, представив волновую функцию (ищем решение уравнения (*))в виде:
,
(**)
где
”радиальная”
функция;
сферические
функции.
Произведя дифференцирование, получим
,
поделив на
и домножив на
,
имеем
.
Очевидно, что
функции, стоящие по обе стороны в первом
равенстве, зависят от совершенно разных
переменных, поэтому
просто
число. Т.о., приходим к двум независимым
уравнениям.
Первое
,
и второе
.
(****)
Заметим, что выражение
называется оператором Лежандра. Поэтому уравнение (****) можно записать как
.
Обратимся
сначала к уравнению (****). Произведем
теперь разделение угловых переменных,
представив функцию
как
.
После подстановки в (****) получаем
.
Поделив последнее
уравнение на произведение
и домножив на
,
получаем
.
(*****)
Как и в предыдущем
случае, очевидно, что
число.
Начнем опять со второго равенства.
.
(+)
Общее решение этого уравнения можно представить в виде линейной комбинации экспонент с комплексными фазами:
.
(++)
Постоянная
может быть определена, если учесть
очевидное требование, которому должна
удовлетворять функция
:
.
(+++)
Подставляя (++) в (+++), получаем
,
что, очевидно, может быть лишь когда
,
или
,
(++++)
где
Т.о.,
.
Обратимся теперь к первому из уравнений (*****), преобразовав его с учетом (++++) к виду
.
Это, так называемое уравнение Лежандра, которое имеет непрерывное (т.е. нужное нам) решение только при
,
причем
.
(5+)
Решением уравнения
Лежандра являются присоединенные
полиномы Лежандра, обозначаемые как
.
Например,
;
;
и т.д.
Обратимся, наконец, к радиальной части уравнения Шредингера, приняв во внимание (5+):
.
(6+)
Это уравнение может быть приведено к виду:
,
где
(см. рис.).
Можно показать,
что частица, движущаяся в поле,
характеризуемом потенциалом
,
имеет непрерывный
Спектр энергий
при
и дискретный, когда
.
Введем новую переменную – безразмерную координату электрона
.
Теперь уравнение (6+) принимает вид:
,
или, умножив на
(7+)
и положив параметр равным
,
и обозначив
,
приводим уравнение (6+) к виду:
.
(8+)
В математической физике показывается, что уравнение (8+) имеет конечное однозначное и непрерывное решение, причем
1. если первое
слагаемое в квадратных скобках равно
,
то решение существует при произвольном
положительном
(
).
Поскольку
,
то энергия положительная и меняется
непрерывно;
2. при значении
решение существует только для целых
,
где
.
Тогда спектр значений параметра
дискретный:
,
соответственно
,
что полностью совпадает с результатом, полученным в теории Бора.
Очевидно, что
для каждого
будем иметь собственную функцию
.
Понятно, что волновая функция электрона определяется произведением трех функций:
.
Целочисленные величины, определяющие волновую функцию электрона – квантовые числа – удовлетворяют следующим условиям:
главное
квантовое число,
определяющее энергию электрона в атоме
(для водородоподобного
атома);
азимутальное
квантовое число;
магнитное
квантовое число.
Необходимо особо подчеркнуть, что квантовомеханическое описание атома позволяет совершенно иначе подойти к интерпретации понятия “орбита электрона”, введенного в теории Бора-Зоммерфельда, нежели это следует из полуклассических представлений.
Рассмотрим основное состояние атома водорода, которое определяется набором квантовых чисел:
.
Уравнение Шредингера для радиальной функции электрона в основном состоянии принимает вид:
.
Его решение есть функция вида
,
в чем можно убедиться непосредственной подстановкой.
По смыслу функции
вероятность
обнаружить
электрон в элементарном объеме
есть
,
где
элементарный объем, записанный в
сферических координатах.
Вероятность
найти электрон на расстоянии
до
от ядра:
.
Наиболее вероятное
расстояние электрона от ядра можно
найти, взяв производную по
в последнем уравнении и положив её
равной нулю:
,
т.е.
,
или
.
Это первый боровский радиус.