Линейные пространства.

Линейным пространством называется множество элементов «векторов» x,y,z,… для которых определены операции сложения векторов и умножения их на числа: x,yL  z=x+yL; xL, RxL, причём эти операции удовлетворяют аксиомам:

1. аксиомы сложения:

   • x+(y+z)=(x+y)+z (ассоциативность);

   • x+y=y+x (коммутативность);

   • 0L: x+0=0+x=x xL;

   • у любого вектора есть противоположный

xL=>(-x)L :x+(-x)=0.

2. аксиомы умножения на число:

   • 1*x=x;

   • ()x=(x).

3. аксиомы дистрибутивности:

   • (+)x=x+x;

   • (x+y)=x+y.

Примеры линейных пространств.

1. Пространство V³. Пространство геометрических векторов.

2. Пространство Rⁿ. Арифметическое пространство. Роль векторов – упорядоченные наборы из n вещественных чисел. x=(x1,x2,x3,…,xn), y=(y1,y2,y3,…,yn) и т.д.. Операции сложения векторов и умножения на число определяются покомпонентно, т.е. x+y=(x1+y1,…,xn+yn), x=(x1,…, xn).

3. Пространство M_mn. Роль векторов – матрицы. Сумма матриц и умножение на число поэлементно.

4. Пространство P_n. Пространство многочленов степени не выше n. Роль векторов – многочлены вида P=P(t)=p₀+p₁t+…+p_ntⁿ. Сложение векторов и умножение на число по правилам действия с многочленами.

5. Пространство функций непрерывных на отрезке С[_c,_c]. Векторы – функции x=x(t), y=y(t) – непрерывные при t[_c,_c]. Сумма векторов и умножение на число по правилам действия с функциями. x+y=x(t)+y(t), x=x(t).

Следствия из аксиом линейного пространства.

1. Ноль вектор в линейном пространстве единственен.

Док-во. Допустим, что есть два 0 вектора 0₁, 0₂  L. По определению имеем 0₁ + x=x, xL x=0₂ ; y + 0₂ = y, yL y=0₁. 0₁ + 0₂ = 0₂; 0₁ + 0₂ = 0₁ => 0₁ = 0₂.

2. У каждого вектора есть лишь один противоположный.

3. Корректно определено вычитание векторов: z=x-yz=x+(-y). Имеет место эквивалентность: a+b=c a=c-b.

Док-во. Корректность определения вычитания связана с единственностью противоположного вектора. Докажем эквивалентность.

a+b=c  a=c-b

Пусть a=c-b=c+(-b), тогда a+b=c+(-b)+b=c((-b)+b)=c+0=c

c-b=a+b+(-b_=a+(b+(-b))=a+0=a

4. 0*x=0.

Док-во. Если =0 или x=0, то x=0. Покажем, что при <>0 и x<>0 будет x<>0. Допустим x=0, тогда x=1*x=((1/))x=(1/)(x)=(1/)0=0 =>x<>0.

5. 0=0.

6. x=0 =0 или x=0.

7. (-)x=(-x)= -x.

Док-во. (-)x= -x. (-x)+ x=((-)+)x=0x=0 => (-)x=-x.

8. (-)x=x-x; (x-y)=x-y.

Док-во. (-)x=x-x=(+(-))x=x+(-)x=x-x.

Множество векторов ML образует подпространство в линейном пространстве L, если М замкнута относительно сложения векторов и умножении их на числа, т.е.из того, что x,yM, тогда z-x+yM, если xM и R => xM.

Св-ва подпространств.

1. Если М подпространство, то 0М и для любого xM, => -xM.

Док-во. Для xM имеем 0=0xM по определению, –x=(-1)xM по определению.

L=R⁴={x=(x1,x2,x3,x4),xiR}

M1={x=(,0,,0),,R}R⁴

M2={x=(,1,,0),,R}R⁴

Тогда М1 – подпространство в R⁴, а М2 не является подпространством R⁴. Для x,yM1 имеем x=(1,0,1,0), y=(2,0,2,0), x+y=(1+2,0,1+2,0)M1, x=(1,0,1,0)M1, значит М1 подпространство в R⁴. М2 не подпространство, например не содержит 0.

2. Подпространство линейного пространства само является линейным пространством.

Док-во. Операции сложения векторов и умножения на числа определены на всём линейном пространстве L, а значит и на МL, причём результаты снова в М по определению подпространства. По св-ву 1 М содержит 0 вектор и для xM +> -xM. Все остальные аксиомы линейного пространства выполнены на всём L, а значит и на М. Вывод: М является линейным подпространством.

Вектор xL называется линейной комбинацией векторов из S, если существует набор чисел 1,…,kR такой, что x=1x1+…+kxk.

Мн-во М=L(S) всех линейных комбинаций векторов из системы S называется линейной оболочкой системы S.

S1={a}, aV³; L(S1)={a; R} – все векторы, коллинеарные a.

S2={a, 2a}; L(S2)={x=1a+₂2a; 1,2R}={a}=L(S1)

S3={a,b;not(a||b)}; L(S3)={x=a+b:,R} – мн-во всех векторов плоскости, заданной векторами a и b.

Теорема. Линейная оболочка системы векторов образует подпространство.

Док-во. Пусть S система векторов {x1,…,xk}L, L(s)={x=1x1+…+kxk: 1,…kR} (1). Для x,yL(S) имеем в силу (1) x=1x1+…+kxk, y=1y1+…+kyk; x+y=(1+1)x+…+(k+k)xkL(S)

x=1x1+…+kxkL(S) => L(S) подпространство в L. Замечание. L(s) есть наименьшее подпространство, содержащее все векторы системы S.

Система S={x1,…,xk} называется линейно независимой, если равенство 1x1+…+kxk=0 возможно только, когда все коэффициенты нулевые.

Системы S называется линейно зависимой, если существует не нулевой набор коэффициентов 1,…,k<>0 (хотя бы один) для которого справедливо равенство 1x1+…+kxk=0.

Св-ва линейной зависимости и независимости.

1. Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. S={x} лин. зав. x=0. Если x=0, то 1*x=0 верно, хотя коэффициент 1=1<>0. Если же x<>0 и <>0, то произведение x<>0. Т.е. S={x} линейно независима.

2. Система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы пропорциональны., т.е. S={x,y} лин. зав. R, x=y||y=x.

Док-во. Пусть x=y, тогда 1*x+(-)y=0, хотя набор коэффициентов (1,-)<>(0,0), значит система линейно зависима. Пусть система {x,y} линейно зависимая система, тогда 1,2R, (1,2)<>(0,0), такое что 1x+2y=0. Пусть например 2<>0, тогда 2y=(-1)x => y=(-1/2)x, т.е. y=x при =-1/2R.

3. Если некоторая часть системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Док-во. S={x₁,…,x_k,x_k+1,…,x_n) и S0={x1,…xk} – линейно зависима. Покажем, что S – линейно зависима. Т.к. S0 – линейно зависима, то существует набор (1,..,k) не совпадающий с (0,…,0), такой что 1x1+…+kxk=0. Тогда рассмотрим (1,…,k,0,…,0}<>{0,…,0}, но 1x1+…+kxk+0x_k+1+…+0xn=0. S – линейно зависима.

Следствие 1. Всякая часть линейно зависимой системы векторов линейно независима.

Следствие 2. Система, содержащая 0 вектор линейно зависима.

Следствие 3. Система, содержащая два одинаковых или два пропорциональных вектора линейно зависима.

4. Критерий линейной зависимости. Для того, чтобы система векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из её векторов был линейной комбинацией других.

Док-во. Пусть один из векторов системы линейно выражается через другие, например xk=1x1+…+_k-1x_k-1, тогда 1x1+…+_k-1x_k-1+(-1)xk=0, хотя набор коэффициентов <> (0,…,0) => S – линейно зависима. Если S линейно зависима, то (1,…,_k-1,k) не все нули, такие что 1x1+…+_k-1x_k-1+kxk=0. пусть например k<>0, тогда получим 1x1+…+_k-1x_k-1=(-k)xk => xk= (-1/k)*x1+…+(-_k-1/k)*x_k-1, т.е. вектор xk линейно выражается через другие.

5. Расширение линейно независимой системы. При добавлении в линейно независимую систему нового вектора она станет линейно зависимой тогда и только тогда, когда новый вектор входит в её линейную оболочку.

S={x1,…,xk} линейно независима.

xL, тогда S1={x1,…,xk,x} станет линейно зависимой xL(S).

S={x1,…,xk}, xL

S1={x1,…,xk,x}

Док-во. Если xL(S), то S1 – линейно зависима. т.к. один из её векторов x линейно выражается через другие. Пусть S1 линейно зависима, покажем, что xL(S). По определению линейной зависимости  набор чисел {1,…,k,} не нулевой, такой что линейная комбинация 1x1+…+kxk=0 => 1=k=0, т.е. (1,…,k,) – нулевой набор. Вывод: чтобы сохранять линейную независимость надо добавлять векторы, не входящие в линейную оболочку.

Система S называется полной в L, если любой вектор x линейно выражается через вектора системы, т.е. 1,…,kR: x=1x1+…+kxk.

Линейное пространство L называется конечномерным, если в нём полные системы, состоящие из конечного числа векторов.

Линейно независимая полная система называется базисом.

Теорема. Если S={e1,…,ek} – базис в L, то для любого x из L существует единственное разложение по базису: x=x1e1+…+xkek.

Коэффициенты разложения x=x1e1+…+xkek вектора xL по по базису S называется координатами вектора в этом базисе. Из теоремы видим, что каждый вектор однозначно определяется набором координат.

Теорема. Сложение векторов и умножение их на числа производится покоординатно. Т.е. если x=(x1,…,xn), y=(y1,…,yn) – координаты векторов в базисе S, то вектор x+y=(x1+y1,…,xn+yn), а вектор x=(x1,…,xn).

Док-во. x=(x1,…,xn) x=x1e1+…+xnen; y(y1,…,yn) y=y1e1+…+ynen; x+y=(x1+y1)e1+…+(xn+yn)en x+y=(x1+y1,…,xn+yn).

Теорема. В конечномерном линейном пространстве число векторов в любой линейно независимой системе не больше числа векторов в любой полной системе.

E={e1,…,ek} линейно независима

F={f1,…,fm} полна в L

то k<=m

Теорема. Все базисы конечно мерного пространства содержат одинаковое число векторов.

Док-во. S={e1,…,en} – базис в L

S`={f1,…,fn} – другой базис в L

Тогда S – линейно независима, а S` - полна => n<=m. С другой стороны S – полна, а S` - линейно независима => m<=n. Следовательно, n=m.

Размерностью конечно мерного пространства называется число векторов в любом базисе этого пространства. обозначение dim L=n.

Утверждение. В n-мерном линейном пространстве L всякая система из m>=n+1 векторов линейно зависима.

Док-во. Пусть S={e1,…,en} – базис в L, S` - любая система {f1,…,fm}, где m>=n+1. Тогда S` - линейно зависима. Если бы S` - была линейно независима, то т.к. базис S – полная система, то имели бы m<=n.

Утверждение. В n-мерном пространстве всякая система из n линейно независимых векторов образует базис.

Док-во. Пусть dimL=n, S={e1,…,en} линейно независима. Докажем её полноту. Действительно xL система S1={e1,…,en,x} линейно зависима xL, т.е. разлогается по системе S. Значит, S по определению полна в L. Итак S – линейно независима и полна.

В n – мерном пространстве всякая полная система из n – векторов – базис.

Построение базисов в конкретных линейных пространствах.

L=V³ – пр-во геометрических векторов.

Утверждение. Базис в L образует любая система из трёх некомпланарных векторов.

Размерность L равна 3.

Док-во. Пусть S={a,b,c} некомпланарные векторы, что S линейно независима. Покажем, что S полна в L= V³, т.е. в V³ есть разложение по системе S: d=a+b+c. Запишем векторы a, b, c, d через координаты в базисе {i,j,k}. a=(ax,ay,az), b=(bx,by,bz), c=(cx,cy,cz), d=(dx,dy,dz).

<>0, т.к. векторы a, b, c не компланарны.

Система с не нулевым определителем имеет единственное решение, значит разложение существует.

Следствие. В пр-ве V³ любая система из 4 и более векторов линейно зависима.

L=Rⁿ – арифметическое n-мерное пространство.

Утверждение. dim Rⁿ =n; пример базиса в Rⁿ даёт система S={e1,e2,…,en}, где e1=(1,0,…,0), e2=(0,1,0,…,0)… en=(0,0,…,1) канонический базис в Rⁿ.

Док-во. Докажем полноту. x=(x1,x2,…,xn)Rⁿ имеем равентсво x=x1e1+x2e2+…+xnen. Действительно x=(x1,0,…,0)+(0,x2,…,0)+…+(0,0,…,xn)=x1(1,0,…,0)+x2(0,1,0,…,0)+…+xn(0,0,…,1)=x1e1+x2e2+…+xnen. Пусть 0=1e1+2e2+…+nen. Покажем, что все коэффициенты нули 1=n=0. Действительно 0=(0,0,…,0)=1(1,0,…,0)+ 2(0,1,0,…,0)+…+n(0,0,…,1)=(1,2,…,n) => 1=2=…= n=0. Вывод: S – линейно независима и полна, т.е. S – базис в Rⁿ.

Следствие. Размерность Rⁿ = n. В Rⁿ любая система из m>=n+1 векторов линейно зависима.

L=Pn – пр-во многочленов степени не выше n.

L=Pn={p(t)=p0+p1t+…+pntⁿ: pkR}

Утверждение. Размерность Pn=n+1, при этом пример базиса даёт система: S={1,t,…,tⁿ}.

Док-во. p(t)Pn имеем p(t)=p0+p1t+…+pntⁿ – разложение по системе S с коэффициентами p0, p1,…, pn. pPn имеем p(t)=p0e0(t)+p1e1(t)+…+pnen(t) разложение по системе S. Линейная независимость. Если 0e0(t)+1e1(t) +…+nen(t)=0, т.е. 0+1t+…+ntⁿ  0, то покажем, что 0==…=n=0. Дифференцируем это множество n раз. Получаем 0=1=…=n=0.

Пусть L – линейное пространство, МL, М – подпространство. Тогда само М является линейным пространством. Обозначим n=dimL, m=dimM.

Теорема. Размерность подпространства не выше размерности пространства. m<=n. Если m=n, то подпространство совпадает со всем пространством. Если m<n, то базис подпространства М можно достроить до базиса всего пространства L.

Док-во. Sm={e1,e2,…,em} – базисв М. Тогда Sm – линейно не зависимая система векторов из L и число векторов в Sm не больше, чем размерность L=n, т.е. m<=n. Пусть m=n, тогда базис Sm подпространства М будет линейно независимой системой векторов в L с числом векторов равным n=dimL, значит такая система образует базис в L, т.е. Sm базис в М и L. Следовательно, её линейная оболочка L(Sm)=L, т.к. Sm базис в L. Значит, в М=L. Пусть m<n, тогда базис Sn подпространства М будет линейно независимой системой векторов в L, но не базисом, значит Sm не полна в L, т.е. существует вектор e_m+1L\L(sm). Добавим этот вектор в систему. S_m+1={e1,…,em,e_m+1}. Эта система линейно независима. Если m+1=n, то S_m+1, базис в L. Если m+a<n, то S_m+1 не полна в L и можно найти вектор e_m+2L, e_m+2L(S_m+1). Добавив его получим систему S_m+2={e1,…,em,e_m+1,e_m+2} (линейно независима). Если m+2=n, то S_m+2 базис в L. Продолжая построение в результате получим систему Sn линейно независимую, она и есть базис в L.

Рангом r(S) системы векторов S называется размерность её линейной оболочки: r(S)=dimL(S).

Базой (максимальной линейно независимой подсистемой) системы S называется её подсистема S` со свойствами:

1. S` - линейно независима;

2. все векторы из S линейно выражаются через векторы из S`.

Замечание. Если система S линейно независима, то она сама является своей базой.

Теорема. База системы векторов образует базис в её линейной оболочке.

Док-во. Пусть S – система векторов, S` - её база. Тогда S` линейно независима, любой вектор из L(S) линейно выражается через векторы из S, а они в свою очередь линейно выражаются через векторы системы S`. В итоге любой вектор xL(S) линено выражается через векторы из S`. Это означает, что S` полна в L(S), следовательно S` - базис в L(S).

Следствие. Все базы содержат одинаковое число векторов, равное рангу системы.

Следствие. Если S` линейно независимая подсистема системы S и число векторов в S` равно рангу S, то S` - база системы.

Замечание. Если система линейно независима, то размерность её линейной оболочки (её ранг) равен числу векторов в ней, т.к. она сама является своей базой.

Пусть L – линейное пространство, S={e1,…,ek}, S1={f1,…,fm} – системы векторов из L.

Теорема. Если все векторы из S1 линейно выражаются через векторы из S, то ранг системы S1 не больше, чем ранг S (r(S1)<=r(S)).

Док-во. Покажем, что L(S1)L(S). Для xL(S1) есть линейное выражение этого вектора через векторы из S1. Но они линейно выражаются через векторы из S. В итоге получаем линейное выражение вектора xL(S1) через векторы из S, т.е. xL(S). Доказали, что если xL(S1), то xL(S). L(S) – линейное пространство, L(S1) – подпространство => dimL(s1)<=dimL(S), r(S1)<=r(S).

Элементарными преобразованиями системы векторов преобразования вида:

1. перестановка двух векторов в системе;

2. умножение одного из векторов системы на число не равное нулю;

3. добавление к одному из векторов другого с некоторым коэффициентом.

Замечание. Если одна система получена из другой с помощью элементарных преобразований, то и та в свою очередь получается из новой с помощью обратных элементарных преобразований.

Теорема. Если одна система получена из другой с помощью элементарных преобразований, то их ранг одинаков.

Док-во. Если S1 получена из S элементарными преобразованиями, то векторы из S1 линейно выражаются через векторы из S. r(S1)<=r(S). В свою очередь векторы из S выражаются через векторы из S1 с помощью обратных элементарных преобразований, значит r(S)<=r(S1). Значит r(S)=r(S1).

Замечание. При элементарных преобразованиях база системы может исчезнуть.